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12
导数及其应用
★★☆☆☆
函数
f
(
x
)
=
x
ln
x
f(x) = x \ln x
f
(
x
)
=
x
ln
x
（
x
>
0
x > 0
x
>
0
）的单调递增区间是______.
2007 · 广东 · 文 · 第 12 题 · 填空题
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20
数列
★★★★☆
已知函数
f
(
x
)
=
x
2
+
x
−
1
f(x) = x^2 + x - 1
f
(
x
)
=
x
2
+
x
−
1
，
α
\alpha
α
，
β
\beta
β
是方程
f
(
x
)
=
0
f(x) = 0
f
(
x
)
=
0
的两个根（
α
>
β
\alpha > \beta
α
>
β
），
f
′
(
x
)
f'(x)
f
′
(
x
)
是
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的导数，设
a
1
=
1
a_{1} = 1
a
1
=
1
，
a
n
+
1
=
a
n
−
f
(
a
n
)
f
′
(
a
n
)
a_{n + 1} = a_{n} - \frac{f(a_{n})}{f'(a_{n})}
a
n
+
1
=
a
n
−
f
′
(
a
n
)
f
(
a
n
)
（
n
=
1
n = 1
n
=
1
，
2
2
2
，
⋯
\cdots
⋯
）.
(1) 求
α
\alpha
α
，
β
\beta
β
的值； (2) 已知对任意的正整数
n
n
n
，都有
a
n
>
α
a_{n} > \alpha
a
n
>
α
，记
b
n
=
ln
a
n
−
β
a
n
−
α
b_{n} = \ln \frac{a_{n} - \beta}{a_{n} - \alpha}
b
n
=
ln
a
n
−
α
a
n
−
β
（
n
=
1
n = 1
n
=
1
，
2
2
2
，
⋯
\cdots
⋯
），求数列
{
b
n
}
\{b_{n}\}
{
b
n
}
的前
n
n
n
项和
S
n
S_{n}
S
n
.
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