若数列 $\{a_n\}$ 是等差数列，首项 $a_1>0$，$a_{2003}+a_{2004}>0$，$a_{2003}\cdot a_{2004}<0$，则使前 $n$ 项和 $S_n>0$ 成立的最大自然数 $n$ 是（ ）

如图 $P_1$ 是一块半径为 $1$ 的半圆形纸板，在 $P_1$ 的左下端剪去一个半径为 $\frac{1}{2}$ 的半圆后得到图形 $P_2$. 然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形 $P_3$，$P_4$，$\cdots$，$P_n$，$\cdots$，记纸板 $P_n$ 的面积为 $S_n$，则 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=$______.

设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$（$n=1$，$2$，$3$，$\ldots$）.

(1) 证明 $a_n>\sqrt{2n+1}$ 对一切正整数 $n$ 成立； (2) 令 $b_n=\frac{a_n}{\sqrt[n]{n}}$（$n=1$，$2$，$\cdots$），判断 $b_n$ 与 $b_{n+1}$ 的大小，并说明理由.