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01三角函数★☆☆☆☆
tan⁡690∘\tan 690^{\circ} 的值为（ ）
A.
−33-\frac{\sqrt{3}}{3}
B.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
C.
3\sqrt{3}
D.
−3-\sqrt{3}

2007 · 湖北 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
如果 U={x∣x 是小于 9 的正整数}U = \{x \mid x \text{ 是小于 } 9 \text{ 的正整数}\}，A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\}，B={3,4,5,6}B = \{3, 4, 5, 6\}，那么 ∁UA∩∁UB=\complement_U A \cap \complement_U B =（ ）
A.
{1,2}\{1, 2\}
B.
{3,4}\{3, 4\}
C.
{5,6}\{5, 6\}
D.
{7,8}\{7,8\}

2007 · 湖北 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03计数原理与组合数学★★☆☆☆
如果 (3x2−2x3)n\left(3x^{2} - \frac{2}{x^{3}}\right)^{n} 的展开式中含有非零常数项，则正整数 nn 的最小值为（ ）
A.
1010
B.
66
C.
55
D.
33

2007 · 湖北 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
函数 y=2x+12x−1y = \frac{2^x + 1}{2^x - 1}（x<0x < 0）的反函数是（ ）
A.
y=log⁡2x+1x−1y = \log_2\frac{x + 1}{x - 1}（x<−1x < - 1）
B.
y=log⁡2x+1x−1y = \log_2\frac{x + 1}{x - 1}（x>1x > 1）
C.
y=log⁡2x−1x+1y = \log_2\frac{x - 1}{x + 1}（x<−1x < - 1）
D.
y=log⁡2x−1x+1y = \log_2\frac{x - 1}{x + 1}（x>1x > 1）

2007 · 湖北 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05立体几何初步★★★☆☆
在棱长为 11 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，EE，FF 分别为棱 AA1AA_{1}，BB1BB_{1} 的中点，GG 为棱 A1B1A_{1}B_{1} 上的一点，且 A1G=λA_{1}G = \lambda（0⩽λ⩽10 \leqslant \lambda \leqslant 1），则点 GG 到平面 D1EFD_{1}EF 的距离为（ ）
A.
3\sqrt{3}
B.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
C.
2λ3\frac{\sqrt{2}\lambda}{3}
D.
55\frac{\sqrt{5}}{5}

2007 · 湖北 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06概率与统计★☆☆☆☆
为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校 100100 名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示，根据此图，估计该校 20002000 名高中男生中体重大于 70.570.5 公斤的人数为（ ）
A.
300300
B.
360360
C.
420420
D.
450450

2007 · 湖北 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07计数原理与组合数学★★★☆☆
将 55 本不同的书全发给 44 名同学，每名同学至少有一本书的概率是（ ）
A.
1564\frac{15}{64}
B.
15128\frac{15}{128}
C.
24125\frac{24}{125}
D.
48125\frac{48}{125}

2007 · 湖北 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★☆☆☆
由直线 y=x+1y = x + 1 上的一点向圆 (x−3)2+y2=1(x - 3)^2 + y^2 = 1 引切线，则切线长的最小值为（ ）
A.
11
B.
222 \sqrt{2}
C.
7\sqrt{7}
D.
33

2007 · 湖北 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09平面向量★★★☆☆
设 a=(4,3)\boldsymbol{a}=(4,3)，a\boldsymbol{a} 在 b\boldsymbol{b} 上的投影为 522\frac{5\sqrt{2}}{2}，b\boldsymbol{b} 在 xx 轴上的投影为 22，且 ∣b∣⩽14\left|\boldsymbol{b}\right|\leqslant14，则 b\boldsymbol{b} 为（ ）
A.
(2,14)(2,14)
B.
(2,−27)\left(2,-\frac{2}{7}\right)
C.
(−2,27)\left(-2,\frac{2}{7}\right)
D.
(2,8)(2,8)

2007 · 湖北 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10集合与逻辑基础★★★☆☆
已知 pp 是 rr 的充分条件而不是必要条件，qq 是 rr 的充分条件，ss 是 rr 的必要条件，qq 是 ss 的必要条件. 现有下列命题：
① ss 是 qq 的充要条件； ② pp 是 qq 的充分条件而不是必要条件； ③ rr 是 qq 的必要条件而不是充分条件； ④ ¬p\neg p 是 ¬s\neg s 的必要条件而不是充分条件； ⑤ rr 是 ss 的充分条件而不是必要条件.
则正确命题的序号是（ ）
A.
\circled1\circled4\circled5\circled{1}\circled{4}\circled{5}
B.
\circled1\circled2\circled4\circled{1}\circled{2}\circled{4}
C.
\circled2\circled3\circled5\circled{2}\circled{3}\circled{5}
D.
\circled2\circled4\circled5\circled{2}\circled{4}\circled{5}

2007 · 湖北 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11不等式★★☆☆☆
设变量 xx，yy 满足约束条件
{x−y+3⩾0,x+y⩾0,−2⩽x⩽3,\begin{cases} x-y+3&\geqslant0,\\ x+y&\geqslant0,\\ -2&\leqslant x\leqslant3, \end{cases}
，则目标函数 2x+y2x+y 的最小值为______.

2007 · 湖北 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★★☆☆
过双曲线 x24−y23=1\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1 左焦点 F1F_{1} 的直线交双曲线的左支于 MM，NN 两点，F2F_{2} 为其右焦点，则 ∣MF2∣+∣NF2∣−∣MN∣\left|MF_{2}\right| + \left|NF_{2}\right| - \left|MN\right| 的值为______.

2007 · 湖北 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13导数及其应用★☆☆☆☆
已知函数 y=f(x)y = f(x) 的图象在点 M(1,f(1))M(1, f(1)) 处的切线方程是 y=12x+2y = \frac{1}{2} x + 2，则 f(1)+f′(1)=f(1) + f'(1) =______.

2007 · 湖北 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14概率与统计★★☆☆☆
某男运动员在三分线投球的命中率是 12\frac{1}{2}，他投球 1010 次，恰好投进 33 个球的概率是______. （用数值作答）

2007 · 湖北 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★☆☆
为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 yy（毫克）与时间 tt（小时）成正比；药物释放完毕后，yy 与 tt 的函数关系式为 y=(116)t−ay = \left(\frac{1}{16}\right)^{t - a}（aa 为常数），如图所示.
(1) 从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 yy（毫克）与时间 tt（小时）之间的函数关系式为______； (2) 据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.250.25 毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过______小时后，学生才能回到教室.

2007 · 湖北 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=2sin⁡2(π4+x)−3cos⁡2xf(x) = 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} + x\right) - \sqrt{3}\cos 2x，x∈[π4,π2]x \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right].
(1) 求 f(x)f(x) 的最大值和最小值. (2) 若不等式 ∣f(x)−m∣<2\left|f(x)-m\right|<2 在 x∈[π4,π2]x\in\left[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right] 上恒成立，求实数 mm 的取值范围.

2007 · 湖北 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在三棱锥 V−ABCV - ABC 中，VC⊥VC \perp 底面 ABCABC，AC⊥BCAC \perp BC，DD 是 ABAB 的中点，且 AC=BC=aAC = BC = a，∠VDC=θ\angle VDC = \theta（0<θ<π20 < \theta < \frac{\pi}{2}）.
(1) 求证：平面 VABVAB ⊥\perp 平面 VCDVCD. (2) 试确定角 θ\theta 的值，使得直线 BCBC 与平面 VABVAB 所成的角为 π6\frac{\pi}{6}.

2007 · 湖北 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18导数及其应用★★★☆☆
某商品每件成本 99 元. 售价 3030 元，每星期卖出 432432 件. 如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 xx（单位：元，0⩽x⩽300 \leqslant x \leqslant 30）的平方成正比. 已知商品单价降低 22 元时，一星期多卖出 2424 件.
(1) 将一个星期的商品销售利润表示成 xx 的函数. (2) 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

2007 · 湖北 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★★☆
设二次函数 f(x)=x2+ax+af(x) = x^{2} + ax + a，方程 f(x)−x=0f(x) - x = 0 的两根 x1x_{1} 和 x2x_{2} 满足 0<x1<x2<10 < x_{1} < x_{2} < 1.
(1) 求实数 aa 的取值范围. (2) 试比较 f(0)f(1)−f(0)f(0)f(1) - f(0) 与 116\frac{1}{16} 的大小，并说明理由.

2007 · 湖北 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 和 {bn}\{b_{n}\} 满足：a1=1a_{1} = 1，a2=2a_{2} = 2，an>0a_{n} > 0，bn=anan+1b_{n} = \sqrt{a_{n}a_{n + 1}}， n∈N∗\ n \in \mathbf{N}^{*}，且 {bn}\{b_{n}\} 是以 qq 为公比的等比数列.
(1) 证明：an+2=anq2a_{n+2}=a_{n}q^{2}. (2) 若 cn=a2n−1+2a2nc_{n} = a_{2n - 1} + 2a_{2n}，证明数列 {cn}\{c_{n}\} 是等比数列. (3) 求和：1a1+1a2+1a3+1a4+⋯+1a2n−1+1a2n\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \frac{1}{a_4} + \cdots + \frac{1}{a_{2n-1}} + \frac{1}{a_{2n}}.

2007 · 湖北 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，过定点 C(0,p)C(0, p) 作直线与抛物线 x2=2pyx^{2} = 2py（p>0p > 0）相交于 AA，BB 两点.
(1) 若点 NN 是点 CC 关于坐标原点 OO 的对称点，求 △ANB\triangle ANB 面积的最小值. (2) 是否存在垂直于 yy 轴的直线 ll，使得 ll 被以 ACAC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出 ll 的方程；若不存在，说明理由.

2007 · 湖北 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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