若 $\left(x^{2} + \frac{1}{x^{3}}\right)^{n}$ 展开式的各项系数之和为 $32$，则 $n =\underline{\hspace{2em}}$，其展开式中的常数项为______. （用数字作答）

\begin{answer} $5$，$10$ \end{answer}

\begin{solution} 令展开式中的 $x^2$ 取 $k$ 次，则通项为 $\mathrm C_n^k(x^2)^k\left(\frac1{x^3}\right)^{n-k}=\mathrm C_n^k x^{5k-3n}$. 各项系数之和等于令 $x=1$ 时的值，所以 $2^n=32$，得到 $n=5$. 常数项要求 $5k-3n=0$，代入 $n=5$ 得 $k=3$，其系数为 $\mathrm C_5^3=10$. 故填 $5$，$10$. \end{solution}

甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A，B，C，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.

(1) 求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率； (2) 求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3) 设随机变量 $\xi$ 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数，求 $\xi$ 的分布列.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为 $5$ 名志愿者分到 $4$ 个岗位且每个岗位至少一人，所以人数分配必为 $2$，$1$，$1$，$1$. 先选出二人所在的岗位，再选出这二人，最后把其余三人分别安排到其余三个岗位，等可能的分配总数为 $4\mathrm C_5^2 3!=4\times10\times6=240$. 甲、乙同时在 A 岗位时，二人必须正好是 A 岗位的两人，其余三人分别到 B，C，D，有 $3!$ 种，所以概率为 $\frac{3!}{240}=\frac1{40}$. \item 甲、乙在同一岗位时，他们必为唯一的二人岗位. 先选这个岗位，再把其余三人分别安排到另外三个岗位，共有 $4\cdot3!=24$ 种，因此 $P(\text{甲、乙同岗})=\frac{24}{240}=\frac1{10}$，从而 $P(\text{甲、乙不同岗})=1-\frac1{10}=\frac9{10}$. \item A 岗位人数只能取 $1$ 或 $2$. 当 $\xi=2$ 时，先从五人中选出到 A 岗位的二人，再把其余三人分别安排到 B，C，D，有 $\mathrm C_5^2 3!=60$ 种，故 $P(\xi=2)=\frac{60}{240}=\frac14$. 因此 $P(\xi=1)=1-\frac14=\frac34$. 分布列为 \begin{center} \begin{tabular}{c|cc} $\xi$&$1$&$2$\ \hline $P$&$\frac34$&$\frac14$ \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \end{solution}