如图，函数 $f(x)$ 的图象是折线段 $ABC$，其中 $A$，$B$，$C$ 的坐标分别为 $(0,4)$，$(2,0)$，$(6,4)$，则 $f(f(0)) =$______；$\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} =$______. （用数字作答）

\begin{answer} $2$，$-2$ \end{answer}

\begin{solution} 在 $A(0,4)$、$B(2,0)$ 所在的线段上，斜率为 $-2$，所以 $f(x)=4-2x$（$0\leqslant x\leqslant2$）；在 $B(2,0)$、$C(6,4)$ 所在的线段上，斜率为 $1$，所以 $f(x)=x-2$（$2\leqslant x\leqslant6$）. 于是 $f(0)=4$，$f(f(0))=f(4)=2$.

当 $\Delta x$ 足够小时，$1+\Delta x\in[0,2]$，故 $\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\frac{[4-2(1+\Delta x)]-[4-2]}{\Delta x}=-2$. 所以极限为 $-2$，故填 $2$，$-2$. \end{solution}

已知函数 $f(x) = \frac{2x - b}{(x - 1)^2}$，求导函数 $f'(x)$，并确定 $f(x)$ 的单调区间.

\begin{solution} $f'(x)=\frac{2(x-1)^2-2(2x-b)(x-1)}{(x-1)^4}=-\frac{2\bigl[x-(b-1)\bigr]}{(x-1)^3}$，$x\ne1$. 令 $c=b-1$. 当 $b<2$（即 $c<1$）时，$f'(x)<0$ 在 $(-\infty,c)$ 与 $(1,+\infty)$ 上成立，$f'(x)>0$ 在 $(c,1)$ 上成立，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,b-1)$、$(1,+\infty)$ 上单调递减，在 $(b-1,1)$ 上单调递增. 当 $b>2$（即 $c>1$）时，$f'(x)<0$ 在 $(-\infty,1)$ 与 $(c,+\infty)$ 上成立，$f'(x)>0$ 在 $(1,c)$ 上成立，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$、$(b-1,+\infty)$ 上单调递减，在 $(1,b-1)$ 上单调递增. 当 $b=2$ 时，$f(x)=\frac2{x-1}$，且 $f'(x)=-\frac2{(x-1)^2}<0$，所以在 $(-\infty,1)$、$(1,+\infty)$ 上均单调递减. \end{solution}