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10
导数及其应用
★★★★☆
已知函数
f
(
x
)
=
x
3
+
a
x
2
+
b
x
+
c
f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c
f
(
x
)
=
x
3
+
a
x
2
+
b
x
+
c
有两个极值点
x
1
x_1
x
1
，
x
2
x_2
x
2
，若
f
(
x
1
)
=
x
1
<
x
2
f(x_1) = x_1 < x_2
f
(
x
1
)
=
x
1
<
x
2
，则关于
x
x
x
的方程
3
(
f
(
x
)
)
2
+
2
a
f
(
x
)
+
b
=
0
3(f(x))^2 + 2af(x) + b = 0
3
(
f
(
x
)
)
2
+
2
a
f
(
x
)
+
b
=
0
的不同实根个数为（ ）
A.
3
3
3
B.
4
4
4
C.
5
5
5
D.
6
6
6
2013 · 安徽 · 文 · 第 10 题 · 选择题
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加入复习
加入组题
19
数列
★★★☆☆
设数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
满足
a
1
=
2
a_{1} = 2
a
1
=
2
，
a
2
+
a
4
=
8
a_{2} + a_{4} = 8
a
2
+
a
4
=
8
，且对任意
n
∈
N
∗
n \in \mathbf{N}^{*}
n
∈
N
∗
，函数
f
(
x
)
=
(
a
n
−
a
n
+
1
+
a
n
+
2
)
x
+
a
n
+
1
cos
x
−
a
n
+
2
sin
x
f(x) = (a_{n} - a_{n+1} + a_{n+2})x + a_{n+1}\cos x - a_{n+2}\sin x
f
(
x
)
=
(
a
n
−
a
n
+
1
+
a
n
+
2
)
x
+
a
n
+
1
cos
x
−
a
n
+
2
sin
x
满足
f
′
(
π
2
)
=
0
f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0
f
′
(
2
π
)
=
0
.
(1) 求数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
的通项公式； (2) 若
b
n
=
2
(
a
n
+
1
2
a
n
)
b_{n} = 2\left(a_{n} + \frac{1}{2a_{n}}\right)
b
n
=
2
(
a
n
+
2
a
n
1
)
，求数列
{
b
n
}
\{b_{n}\}
{
b
n
}
的前
n
n
n
项和
S
n
S_{n}
S
n
.
2013 · 安徽 · 文 · 第 19 题 · 解答题
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20
导数及其应用
★★★★☆
设函数
f
(
x
)
=
a
x
−
(
1
+
a
2
)
x
2
f(x) = ax - (1 + a^2)x^2
f
(
x
)
=
a
x
−
(
1
+
a
2
)
x
2
，其中
a
>
0
a > 0
a
>
0
，区间
I
=
{
x
∣
f
(
x
)
>
0
}
I = \{x \mid f(x) > 0\}
I
=
{
x
∣
f
(
x
)
>
0
}
.
(1) 求
I
I
I
的长度（注：区间
(
α
,
β
)
(\alpha, \beta)
(
α
,
β
)
的长度定义为
β
−
α
\beta - \alpha
β
−
α
）； (2) 给定常数
k
∈
(
0
,
1
)
k \in (0,1)
k
∈
(
0
,
1
)
，当
1
−
k
⩽
a
⩽
1
+
k
1 - k \leqslant a \leqslant 1 + k
1
−
k
⩽
a
⩽
1
+
k
时，求
I
I
I
长度的最小值.
2013 · 安徽 · 文 · 第 20 题 · 解答题
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