已知点 $(3,9)$ 在函数 $f(x)=1+a^x$ 的图像上，则 $f(x)$ 的反函数 $f^{-1}(x)=\underline{\hspace{2em}}$.

已知 $a\in\mathbf{R}$，函数 $f(x)=\log_2\!\left(\dfrac1x+a\right)$.

(1) 当 $a=1$ 时，解不等式 $f(x)>1$； (2) 若关于 $x$ 的方程 $f(x)+\log_2(x^2)=0$ 的解集中恰有一个元素，求 $a$ 的值； (3) 设 $a>0$，若对任意 $t\in\left[\dfrac12,1\right]$，函数 $f(x)$ 在区间 $[t,t+1]$ 上的最大值与最小值的差不超过 $1$，求 $a$ 的取值范围.