设 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ 为双曲线 $\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的两个焦点. 若 $F_{1}$，$F_{2}$， $P(0,2b)$ 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ）

\begin{solution} 设双曲线的焦距参数为 $c$，则 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$，且 $F_{1}F_{2}=2c$. 正三角形条件给出 $PF_{1}=PF_{2}=F_{1}F_{2}=2c$. 由 $P(0,2b)$ 得 $PF_{1}^{2}=c^{2}+4b^{2}$，所以 $c^{2}+4b^{2}=4c^{2}$，即 $4b^{2}=3c^{2}$. 与 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ 联立，得 $b^{2}=3a^{2}$，$c^{2}=4a^{2}$. 因而离心率 $e=\frac{c}{a}=2$，故选 B. \end{solution}

设直线系 $M: x \cos \theta + (y - 2) \sin \theta = 1$（$0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi$），对于下列四个命题：

① 存在一个圆与所有直线相交； ② 存在一个圆与所有直线不相交； ③ 存在一个圆与所有直线相切； ④ $M$ 中的直线所能围成的正三角形面积都相等.

其中真命题的代号是______. （写出所有真命题的代号）

\begin{solution} 将直线写成 $x\cos\theta+(y-2)\sin\theta=1$. 点 $P(0,2)$ 到任一直线的距离为 $\frac{|0-1|}{\sqrt{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}}=1$，所以 $M$ 中的所有直线都是圆 $C:x^{2}+(y-2)^{2}=1$ 的切线.

半径大于 $1$ 且圆心为 $P$ 的圆与所有这些直线相交，半径小于 $1$ 且圆心为 $P$ 的圆与所有这些直线均不相交，圆 $C$ 与所有这些直线相切，因此 A、B、C 都是真命题.

D 不成立. 例如取 $\theta=0$，$\frac{2\pi}{3}$，$\frac{4\pi}{3}$，所得正三角形的内切圆为 $C$，内切半径为 $1$，面积为 $3\sqrt{3}$. 再取 $\theta=0$，$\frac{\pi}{3}$，$\frac{5\pi}{3}$，令 $u=x$，$v=y-2$，三条直线为 $u=1$、$\frac12u+\frac{\sqrt3}{2}v=1$、$\frac12u-\frac{\sqrt3}{2}v=1$. 它们的三个交点为 $(2,0)$、$(1,\frac1{\sqrt3})$、$(1,-\frac1{\sqrt3})$，故所得正三角形边长为 $\frac{2}{\sqrt3}$，面积为 $\frac{\sqrt3}{3}$. 两个面积不相等，故真命题的代号为 ABC. \end{solution}

如图，已知圆 $G: (x - 2)^2 + y^2 = r^2$ 是椭圆 $\frac{x^2}{16} + y^2 = 1$ 的内接 $\triangle ABC$ 的内切圆，其中 $A$ 为椭圆的左顶点.

(1) 求圆 $G$ 的半径 $r$； (2) 过点 $M(0,1)$ 作圆 $G$ 的两条切线交椭圆于 $E$，$F$ 两点，证明：直线 $EF$ 与圆 $G$ 相切.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 圆 $G$ 的圆心和点 $A=(-4,0)$ 都在 $x$ 轴上. 两条边 $AB$，$AC$ 是从 $A$ 引圆 $G$ 的两条切线，且椭圆和圆都关于 $x$ 轴对称，所以 $B$，$C$ 关于 $x$ 轴对称. 因三角形包含圆 $G$，第三条切线 $BC$ 必须是圆的右侧切线，故设 $B=(2+r,y_0)$，$C=(2+r,-y_0)$，其中 $y_0>0$. 又 $B$ 在椭圆上，所以 直线 $AB$ 的方程为 $y_0x-(6+r)y+4y_0=0$. 因它与圆 $G$ 相切，圆心 $G(2,0)$ 到该直线的距离等于 $r$，即 平方并整理得 $(36-r^{2})y_0^{2}=r^{2}(6+r)^{2}$. 代入 $y_0^{2}$，利用 $36-r^{2}=(6-r)(6+r)$，并约去正数 $6+r$，得 即 由于 $r>0$，可约去 $r+6$，于是 $15r^{2}+8r-12=0$. 解得 $r=\frac23$ 或 $r=-\frac65$，由 $r>0$，所以 $r=\frac23$.

\item 过 $M(0,1)$ 的直线设为 $y-1=kx$. 它与圆 $G$ 相切的条件为 即 $32k^{2}+36k+5=0$. 设两根为 $k_1$，$k_2$，则 $k_1+k_2=-\frac98$，$k_1k_2=\frac5{32}$. 直线 $y=k_ix+1$ 与椭圆联立，得到 除去公共交点 $M$ 后的另一个交点记为 $(x_i,y_i)$，则 $x_i=-\frac{32k_i}{16k_i^{2}+1}$，$y_i=1+k_ix_i=\frac{1-16k_i^2}{16k_i^2+1}$. 记 $s=k_1+k_2$，$p=k_1k_2$，并记 $d_i=16k_i^2+1$. 直接通分可得 $x_2-x_1=-\frac{32(k_2-k_1)(1-16p)}{d_1d_2}$，$y_2-y_1=-\frac{32(k_2-k_1)s}{d_1d_2}$. 因此弦 $EF$ 的斜率为 再由 $b=y_1-\frac34x_1$，通分得 所以直线 $EF$ 为 $y=\frac34x-\frac73$. 将其写成 $9x-12y-28=0$，则圆心 $G(2,0)$ 到该直线的距离为 因此直线 $EF$ 与圆 $G$ 相切. \end{enumerate} \end{solution}