如图所示，一质点 $P(x, y)$ 在 $xOy$ 平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在 $x$ 轴上的投影点 $Q(x, 0)$ 的运动速度 $V = V(t)$ 的图象大致为（ ）

\begin{solution} 把投影点的有向速度记为 $V(t)=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}$. 质点开始沿斜率不变的直线向右运动，所以 $V(t)$ 在开始阶段为正常数. 进入第一个封闭曲线后，质点的横坐标先增大、再减小、又增大，因此 $V(t)$ 依次为正、负、正，并在竖直切线处经过 $0$. 进入第二个封闭曲线后，横坐标同样经历先增大、再减小、又增大的过程，故 $V(t)$ 再次出现正、负、正的变化. 选项 A 始终非负，选项 C 开始阶段不是常数，选项 D 的末段变化方向与题图不符，只有选项 B 符合，故选 B. \end{solution}

若存在过点 $(1,0)$ 的直线与曲线 $y = x^3$ 和 $y = ax^2 + \frac{15}{4} x - 9$ 都相切，则 $a$ 等于（ ）

\begin{solution} 设过点 $(1,0)$ 且与 $y=x^{3}$ 相切的切点横坐标为 $t$. 切线为 $y=3t^{2}x-2t^{3}$，代入 $(1,0)$ 得 $t^{2}(3-2t)=0$. 因而 $t=0$ 或 $t=\frac32$，相应切线分别为 $y=0$ 和 $y=\frac{27}{4}x-\frac{27}{4}$.

当切线为 $y=0$ 时，与二次曲线联立得 $ax^{2}+\frac{15}{4}x-9=0$. 该直线相切要求判别式为零，即 $\left(\frac{15}{4}\right)^{2}+36a=0$，所以 $a=-\frac{25}{64}$.

当切线为 $y=\frac{27}{4}x-\frac{27}{4}$ 时，联立得 $ax^{2}-3x-\frac94=0$. 判别式为零给出 $9+9a=0$，所以 $a=-1$. 因此选 A. \end{solution}

设函数 $f(x) = x^3 - \frac{9}{2} x^2 + 6x - a$.

(1) 对于任意实数 $x$，$f'(x) \geqslant m$ 恒成立，求 $m$ 的最大值； (2) 若方程 $f(x)=0$ 有且仅有一个实根，求 $a$ 的取值范围.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item $f'(x)=3x^{2}-9x+6=3\left(x-\frac32\right)^{2}-\frac34$. 因此对任意实数 $x$，都有 $f'(x)\geqslant-\frac34$，且在 $x=\frac32$ 时取等号. 若 $f'(x)\geqslant m$ 恒成立，则 $m\leqslant-\frac34$，所以 $m$ 的最大值为 $-\frac34$.

\item $f'(x)=3(x-1)(x-2)$，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 和 $(2,+\infty)$ 上递增，在 $(1,2)$ 上递减. 两个极值为 $f(1)=\frac52-a$，$f(2)=2-a$.

若 $a<2$，则 $f(2)>0$，局部极小值也为正，函数只在 $(-\infty,1)$ 上有一个零点. 若 $a>\frac52$，则 $f(1)<0$，局部极大值也为负，函数只在 $(2,+\infty)$ 上有一个零点.

当 $2<a<\frac52$ 时，$f(1)>0>f(2)$，三段单调区间各有一个零点；当 $a=2$ 或 $a=\frac52$ 时，极值点给出重根且另有一个零点，均不满足“有且仅有一个实根”. 因而 $a<2$ 或 $a>\frac52$. \end{enumerate} \end{solution}