甲，乙，丙，丁$4$个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这$4$个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛. 则甲，乙相遇的概率为（ ）

\begin{solution} 四队分成两组的三种等可能配对为（甲、乙）（丙、丁）、（甲、丙）（乙、丁）、（甲、丁）（乙、丙）. 第一种配对中甲、乙必相遇；另外两种配对中，甲、乙只有在各自先战胜对手后才在决赛相遇，概率为 $\frac12\cdot\frac12=\frac14$. 因而所求概率为 $\frac13+\frac23\cdot\frac14=\frac12$，故选 D. \end{solution}

某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审. 假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是 $\frac{1}{2}$. 若某人获得两个“支持”，则给予 $10\text{ 万元}$ 的创业资助. 若只获得一个“支持”，则给予 $5\text{ 万元}$ 的资助；若未获得“支持”，则不予资助. 求：

(1) 该公司的资助总额为零的概率； (2) 该公司的资助总额超过$15\text{ 万元}$的概率.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 对每位大学生，两位专家都“不支持”的概率为 $\frac12\cdot\frac12=\frac14$. 三位大学生的评审相互独立，资助总额为零当且仅当三人的评审结果都为“两次不支持”，所以所求概率为 $\left(\frac14\right)^{3}=\frac1{64}$.

\item 把六次独立评审中“支持”的次数记为 $X$，则 $X\sim B\left(6,\frac12\right)$. 每次“支持”对应 $5$ 万元资助，因此总额为 $5X$ 万元. 总额超过 $15$ 万元等价于 $X\geqslant4$，故 \end{enumerate} \end{solution}