如图，在四面体 $ABCD$ 中，截面 $PQMN$ 是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）

\begin{solution} 截面为正方形，所以 $PQ\parallel MN$，$QM\parallel PN$，且 $PQ\perp QM$. 其中 $PQ$ 在平面 $ABC$ 内，$MN$ 在平面 $ACD$ 内，两平面的交线为 $AC$，故 $PQ\parallel AC$；同理 $QM\parallel BD$. 因而 $AC\perp BD$，命题 A 正确；$AC\parallel PQ$，所以 $AC$ 平行于截面 $PQMN$，命题 B 正确.

正方形条件只给出 $PQ=QM$，不能推出 $AC=BD$. 例如取 $A=(0,0,0)$，$B=(0,1,0)$，$C=(4,0,0)$，$D=(0,1,2)$，并取 $P=(0,\frac23,0)$，$Q=(\frac43,\frac23,0)$，$M=(\frac43,\frac23,\frac43)$，$N=(0,\frac23,\frac43)$. 则 $P$，$Q$，$M$，$N$ 分别在 $AB$，$BC$，$CD$，$DA$ 上，且 $PQMN$ 为边长 $\frac43$ 的正方形，而 $AC=4$，$BD=2$，故命题 C 错误.

又 $BD\parallel QM$，异面直线 $PM$ 与 $BD$ 所成的角等于 $PM$ 与 $QM$ 所成的角；正方形对角线与边成 $45^{\circ}$，故命题 D 正确. 所以错误命题为 C. \end{solution}

体积为 $8$ 的一个正方体，其全面积与球 $O$ 的表面积相等，则球 $O$ 的体积等于______.

\begin{solution} 正方体体积为 $8$，故棱长为 $2$，全面积为 $6\cdot2^{2}=24$. 设球半径为 $R$，由表面积相等， $4\pi R^{2}=24$，所以 $R^{2}=\frac{6}{\pi}$. 球体积为 $\frac43\pi R^{3}=\frac43\pi\left(\frac6\pi\right)^{\frac{3}{2}}=\frac{8\sqrt{6\pi}}{\pi}$. \end{solution}

在四棱锥 $P - ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是矩形，$PA \perp$ 平面 $ABCD$，$PA = AD = 4$，$AB = 2$. 以 $BD$ 的中点 $O$ 为球心，$BD$ 为直径的球面交 $PD$ 于点 $M$.

(1) 求证：平面 $ABM$ $\perp$ 平面 $PCD$； (2) 求直线 $PC$ 与平面 $ABM$ 所成的角； (3) 求点 $O$ 到平面 $ABM$ 的距离.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 建立空间直角坐标系，取 $A$ 为原点，令 $AB$、$AD$、$AP$ 分别为三个坐标轴正向，则 $A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$D(0,4,0)$，$C(2,4,0)$，$P(0,0,4)$. 设 $M$ 在 $PD$ 上，写成 $M=(0,4t,4-4t)$. 因为 $M$ 在以 $BD$ 为直径的球面上，所以 $\angle BMD=90^{\circ}$，即 交点 $D$ 对应 $t=1$，故另一交点 $M$ 对应 $t=\frac12$，从而 $M=(0,2,2)$.

$\overrightarrow{AM}=(0,2,2)$，$\overrightarrow{PD}=(0,4,-4)$，$\overrightarrow{CD}=(-2,0,0)$. 因此 $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{PD}=0$，$\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CD}=0$，所以 $AM\perp$ 平面 $PCD$. 又 $AM\subset$ 平面 $ABM$，故平面 $ABM\perp$ 平面 $PCD$.

\item 平面 $ABM$ 的一个法向量为 $\boldsymbol{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AM}=(0,-4,4)$，可取 $\boldsymbol{n}=(0,1,-1)$. 直线 $PC$ 的方向向量为 $\boldsymbol{v}=\overrightarrow{PC}=(2,4,-4)$. 设直线 $PC$ 与平面 $ABM$ 所成的角为 $\alpha$，则 所以 $\cos\alpha=\frac13$，$\tan\alpha=2\sqrt2$，即 $\alpha=\arctan 2\sqrt2$.

\item 由法向量 $\boldsymbol{n}=(0,1,-1)$，平面 $ABM$ 的方程为 $y-z=0$. 因 $O$ 是 $BD$ 的中点，$O=(1,2,0)$，所以 \end{enumerate} \end{solution}