设 $f^{-1}(x)$ 为 $f(x) = 2^{x - 2} + \frac{x}{2}$，$x \in [0,2]$ 的反函数，则 $y = f(x) + f^{-1}(x)$ 的最大值为______.

设 $P_{n}(x_{n}, y_{n})$ 是直线 $2x - y = \frac{n}{n + 1}$（$n \in \mathbf{N}^{*}$）与圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 在第一象限的交点，则极限 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{y_{n} - 1}{x_{n} - 1} =$（ ）

如图，$A$，$B$，$C$ 三地有直道相通，$AB = 5\text{ 千米}$，$AC = 3\text{ 千米}$，$BC = 4\text{ 千米}$. 现甲，乙两警员同时从 $A$ 地出发匀速前往 $B$ 地，过 $t\text{ 小时}$，他们之间的距离为 $f(t)$ （单位：千米）. 甲的路线是 $AB$，速度为 $5\text{ 千米/小时}$，乙的路线是 $ACB$，速度为 $8\text{ 千米/小时}$. 乙到达 $B$ 地后在原地等待. 设 $t = t_1$ 时，乙到达 $C$ 地.

(1) 求 $t_{1}$ 与 $f(t_{1})$ 的值； (2) 已知警员的对讲机的有效通话距离是 $3\text{ 千米}$. 当 $t_{1} \leqslant t \leqslant 1$ 时，求 $f(t)$ 的表达式，并判断 $f(t)$ 在 $[t_{1}, 1]$ 上的最大值是否超过 $3$. 说明理由.

对于定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $g(x)$. 若存在正常数 $T$，使 $\cos g(x)$ 是以 $T$ 为周期的函数，则称 $g(x)$ 为余弦周期函数，且称 $T$ 为其余周期. 已知 $f(x)$ 是以 $T$ 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 $\mathbf{R}$. 设 $f(x)$ 单调递增，$f(0) = 0$，$f(T) = 4\pi$.

(1) 验证 $h(x) = x + \sin \frac{x}{3}$ 是以 $6\pi$ 为余弦周期的余弦周期函数； (2) 设 $a < b$，证明对任意 $c \in [f(a), f(b)]$，存在 $x_0 \in [a, b]$，使得 $f(x_0) = c$； (3) 证明：“$u_0$ 为方程 $\cos f(x) = 1$ 在 $[0, T]$ 上的解”的充要条件是“$u_0 + T$ 为方程 $\cos f(x) = 1$ 在 $[T, 2T]$ 上的解”，并证明对任意 $x \in [0, T]$ 都有 $f(x + T) = f(x) + f(T)$.