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07导数及其应用★★★☆☆
一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t)=7−3t+251+tv(t) = 7 - 3t + \frac{25}{1 + t}（tt 的单位：s\mathrm{s}，vv 的单位：m/s\mathrm{m/s}）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m\mathrm{m}）是（ ）
A.
1+25ln⁡51 + 25\ln 5
B.
8+25ln⁡1138 + 25\ln \frac{11}{3}
C.
4+25ln⁡54 + 25\ln 5
D.
4+50ln⁡24 + 50\ln 2

2013 · 湖北 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★★☆
已知 aa 为常数，函数 f(x)=x(ln⁡x−ax)f(x) = x(\ln x - ax) 有两个极值点 x1x_1，x2x_2（x1<x2x_1 < x_2），则（ ）
A.
f(x1)>0f(x_1) > 0，f(x2)>−12f(x_2) > -\frac{1}{2}
B.
f(x1)<0f(x_1) < 0，f(x2)<−12f(x_2) < -\frac{1}{2}
C.
f(x1)>0f(x_1) > 0，f(x2)<−12f(x_2) < -\frac{1}{2}
D.
f(x1)<0f(x_1) < 0，f(x2)>−12f(x_2) > -\frac{1}{2}

2013 · 湖北 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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22导数及其应用★★★★★
设 nn 为正整数，rr 为正有理数.
(1) 求函数 f(x)=(1+x)r+1−(r+1)x−1f(x) = (1 + x)^{r + 1} - (r + 1)x - 1（x>−1x > -1）的最小值； (2) 证明： nr+1−(n−1)r+1r+1<nr<(n+1)r+1−nr+1r+1\frac{n^{r+1} - (n-1)^{r+1}}{r+1} < n^{r} < \frac{(n+1)^{r+1} - n^{r+1}}{r+1}； (3) 设 x∈Rx \in \mathbf{R}，记 [x][x] 为不小于 xx 的最小整数，例如 [2]=2[2] = 2，[π]=4[\pi] = 4，[3−2]=−1\left[\frac{3}{-2}\right] = -1. 令 S=813+823+833+⋯+1253S = \sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{82} + \sqrt[3]{83} + \cdots + \sqrt[3]{125}，求 [S][S] 的值.（参考数据： 8043≈344.780^{\frac{4}{3}} \approx 344.7，8143≈350.581^{\frac{4}{3}} \approx 350.5，12443≈618.3124^{\frac{4}{3}} \approx 618.3，12643≈631.7126^{\frac{4}{3}} \approx 631.7）

2013 · 湖北 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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