动点 $P$ 到点 $F(2,0)$ 的距离与它到直线 $x + 2 = 0$ 的距离相等，则点 $P$ 的轨迹方程为______.

圆 $C: x^{2} + y^{2} - 2x - 4y + 4 = 0$ 的圆心到直线 $l: 3x + 4y + 4 = 0$ 的距离 $d =\underline{\hspace{2em}}$.

将直线 $l_1: nx + y - n = 0$，$l_2: x + ny - n = 0$ （$n \in \mathbf{N}^*$，$n \geqslant 2$），$x$ 轴，$y$ 轴围成的封闭区域的面积记为 $S_n$，则 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n =\underline{\hspace{2em}}$.

直线 $l$ 的参数方程是 （$t \in \mathbf{R}$），则 $l$ 的方向向量 $\boldsymbol{d}$ 可以是（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 直线参数方程中 $t$ 的系数给出一个方向向量，因此直线 $l$ 的方向向量可取 $\boldsymbol{d}=(2,-1)$. 方向向量的任意非零倍数都可以表示同一方向，而选项 C 中 $(-2,1)=-(2,-1)$，所以选 C. \end{solution}

已知椭圆 $\Gamma$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$），点 $P$ 的坐标为 $(-a, b)$.

(1) 若直角坐标平面上的点 $M$，$A(0, -b)$，$B(a, 0)$ 满足 $\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB})$，求点 $M$ 的坐标； (2) 设直线 $l_1: y = k_1x + p$ 交椭圆 $\Gamma$ 于 $C$，$D$ 两点，交直线 $l_2: y = k_2x$ 于点 $E$. 若 $k_1 \cdot k_2 = -\frac{b^2}{a^2}$，证明： $E$ 为 $CD$ 的中点； (3) 对于椭圆 $\Gamma$ 上的点 $Q(a\cos \theta, b\sin \theta)$ （$0 < \theta < \pi$） ，如果椭圆 $\Gamma$ 上存在不同的两点 $P_1$，$P_2$ 使 $\overrightarrow{PP_1} + \overrightarrow{PP_2} = \overrightarrow{PQ}$，写出求作点 $P_1$，$P_2$ 的步骤，并求出使 $P_1$，$P_2$ 存在的 $\theta$ 满足的条件.