如果一个圆的圆心在点 $(2,4)$，并且经过点 $(0,3)$，则这个圆的方程是______.

\begin{answer} $\left(x-2\right)^2+\left(y-4\right)^2=5$ \end{answer}

\begin{solution} 圆心为 $C(2,4)$. 由圆经过点 $(0,3)$，半径的平方为 $r^2=(0-2)^2+(3-4)^2=4+1=5$. 因此圆的标准方程为 $\left(x-2\right)^2+\left(y-4\right)^2=5$. 将 $(0,3)$ 代入可得左边为 $4+1=5$，与方程一致. \end{solution}

直线 $y=-x+3$ 的倾斜角的大小是______.

\begin{answer} $\dfrac{3\pi}{4}$ \end{answer}

\begin{solution} 直线的斜率为 $k=-1$. 设倾斜角为 $\theta$，按定义有 $0\leqslant\theta<\pi$ 且 $\tan\theta=k=-1$. 在这个范围内，$\tan\theta=-1$ 的角为第二象限角 $\theta=\dfrac{3\pi}{4}$，所以倾斜角为 $\dfrac{3\pi}{4}$. \end{solution}

在平面直角坐标系内，画出下列方程的曲线（只要求画出图形）：

(1) $\frac{x}{3} - \frac{y}{2} = -1$； (2) $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = -1$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 将方程乘以 $6$，得 $2x-3y=-6$，即 $y=\dfrac{2}{3}x+2$. 令 $y=0$，得横轴截距 $(-3,0)$；令 $x=0$，得纵轴截距 $(0,2)$. 过这两点作直线，即为所求曲线. \item 移项得 $\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{x^2}{9}=1$. 这是中心在原点、实轴在 $y$ 轴上的双曲线，令 $x=0$ 得顶点为 $(0,2)$ 和 $(0,-2)$. 由标准双曲线方程可知其渐近线为 $y=\dfrac{2}{3}x$ 和 $y=-\dfrac{2}{3}x$；也可由 $y=\pm\dfrac{2}{3}\sqrt{x^2+9}$ 看出这一点. 因而图形有上、下两支，分别位于 $y\geqslant2$ 和 $y\leqslant-2$ 的区域，并以这两条直线为渐近线. \end{enumerate} \end{solution}

如图，由抛物线 $y=x^2+2$ 上的点 $M(x_0,y_0)$ 向直线 $y=\frac{1}{2}x$ 作垂线，垂足为 $N$，延长 $MN$ 至 $P$ 点，使点 $N$ 分线段 $MP$ 成定比 $\lambda=\frac{MN}{NP}=4$.

(1) 用 $x_0$，$y_0$ 表示点 $N$ 的坐标 $(x_1, y_1)$； (2) 用 $x_0$，$y_0$ 和 $x_1$，$y_1$ 表示点 $P$ 的坐标 $(x, y)$； (3) 求：当点 $M$ 沿抛物线移动时，点 $P$ 的轨迹方程，并道明轨迹是什么图形.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 直线 $y=\dfrac12x$ 上的点可设为 $N=(2t,t)$. 该直线的方向向量为 $(2,1)$，而 $MN$ 垂直于该直线，所以 $\bigl(x_0-2t,y_0-t\bigr)\cdot(2,1)=0$. 展开得 $2x_0+y_0-5t=0$，从而 $t=\dfrac{2x_0+y_0}{5}$. 因此 $x_1=2t=\dfrac{4x_0+2y_0}{5}$，$y_1=t=\dfrac{2x_0+y_0}{5}$. \item 因为 $M$，$N$，$P$ 依次在同一直线上，且 $MN:NP=4:1$，所以内分点公式给出 $N=\dfrac{M+4P}{5}$. 解得 $P=\dfrac{5N-M}{4}$，即 $x=\dfrac{5x_1-x_0}{4}$，$y=\dfrac{5y_1-y_0}{4}$. \item 将第（1）问的结果代入第（2）问，得 $x=\dfrac{3x_0+2y_0}{4}$，$y=\dfrac{x_0}{2}$. 又因为 $M$ 在抛物线上，所以 $y_0=x_0^2+2$. 于是 $x=\dfrac{2x_0^2+3x_0+4}{4}$，并由 $x_0=2y$ 消去参数，得到 由于 $x_0$ 可以取任意实数，$y=\dfrac{x_0}{2}$ 也可以取任意实数，所以轨迹是完整的抛物线 $x=2\left(y+\dfrac38\right)^2+\dfrac{23}{32}$. 它的顶点为 $\left(\dfrac{23}{32},-\dfrac38\right)$，对称轴为 $y=-\dfrac38$，开口方向为 $x$ 轴正向. \end{enumerate} \end{solution}