设复数 $z_1=1+\mathrm{i}$，$z_2=1-3\mathrm{i}$，则复数 $z=z_1\cdot z_2$ 在复平面内所表示的点位于（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 利用 $\mathrm{i}^2=-1$，得 复数 $4-2\mathrm{i}$ 在复平面内对应点 $(4,-2)$. 该点的横坐标为正、纵坐标为负，因此位于第四象限，选 D. \end{solution}

设 $\triangle ABC$ 的两个内角 $A$，$B$ 所对的边分别为 $a$，$b$. 若复数 $z_1$ 的模为 $a$，幅角为 $B$；复数 $z_2$ 的模为 $b$，幅角为 $-A$. 求证：$z_1+z_2$ 为实数.

\begin{solution} 由复数的三角形式，$z_1=a\left(\cos B+\mathrm{i}\sin B\right)$，$z_2=b\left(\cos A-\mathrm{i}\sin A\right)$. 因此 $z_1+z_2=\left(a\cos B+b\cos A\right)+\mathrm{i}\left(a\sin B-b\sin A\right)$.

在三角形 $ABC$ 中，由正弦定理，存在同一个正数 $k$，使得 $a=k\sin A$，$b=k\sin B$. 所以虚部中的系数为 $a\sin B-b\sin A=k\sin A\sin B-k\sin B\sin A=0$. 于是 $z_1+z_2=a\cos B+b\cos A$ 没有虚部，是实数. \end{solution}