已知 $O$ 为直角坐标系的原点，$A$ 点的坐标为 $(1,3)$，$B$ 点的坐标为 $(0,3)$，若把 $\triangle OAB$ 绕 $y$ 轴旋转一周，则所得旋转体的体积是______.

\begin{answer} $\pi$ \end{answer}

\begin{solution} 线段 $OA$ 经过 $(0,0)$ 和 $(1,3)$，方程为 $x=\dfrac{y}{3}$. 三角形内部在 $0\leqslant y\leqslant3$ 时满足 $0\leqslant x\leqslant\dfrac{y}{3}$. 因而在高度 $y$ 处的截面绕 $y$ 轴旋转后是半径为 $\dfrac{y}{3}$ 的圆盘.

所以旋转体的体积为 \end{solution}

若一个四棱锥的底面是凸四边形，它的顶点到底面各边的距离都相等，则这个棱锥的底面四边形（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 设棱锥顶点为 $P$，底面所在平面为 $\alpha$，点 $P$ 在 $\alpha$ 上的射影为 $H$. 设四条底边所在直线分别为 $l_1$，$l_2$，$l_3$，$l_4$，从 $H$ 向 $l_i$ 作垂线，垂足为 $D_i$. 题设中到各边的距离均由相应的垂足实现，所以各个 $D_i$ 都在相应的边上. 因为 $PH\perp\alpha$，且 $HD_i\perp l_i$，所以 $PD_i\perp l_i$，并有 $PD_i^2=PH^2+HD_i^2$. 题设给出 $PD_1=PD_2=PD_3=PD_4$，故 $HD_1=HD_2=HD_3=HD_4=r$. 对于凸四边形，若公共等距点 $H$ 在四边形外部，则从 $H$ 向某条边及其相邻边所在直线作垂线时，至少有一个垂足落在对应边的延长线上，这与各个 $D_i$ 都在边上矛盾. 故 $H$ 位于四边形内部. 以 $H$ 为圆心、$r$ 为半径作圆，它在各边上的切点分别为 $D_i$，因而与四条边分别相切. 所以底面四边形必有内切圆，选 B. \end{solution}

如图，直线 $a\parallel b$，点 $P$ 在 $a$，$b$ 所确定的平面外，$PA\perp a$，且交 $a$ 于 $A$ 点；$AB\perp b$，且交 $b$ 于 $B$ 点. 求证：$PB\perp b$.

\begin{solution} 设 $a$，$b$ 所确定的平面为 $\alpha$，过 $P$，$A$，$B$ 的平面为 $\beta$. 因为 $a\parallel b$，且 $AB\perp b$，所以 $AB\perp a$. 题设又给出 $PA\perp a$. 直线 $PA$ 与 $AB$ 是平面 $\beta$ 内相交的两条直线，且直线 $a$ 同时垂直于它们，因此 $a\perp\beta$.

由 $a\parallel b$，可得 $b\perp\beta$. 直线 $PB$ 在平面 $\beta$ 内，并且与 $b$ 相交于 $B$，所以平面 $\beta$ 内经过交点 $B$ 的直线 $PB$ 垂直于 $b$. 即 $PB\perp b$. \end{solution}