函数 $y=\tan 2x$ 的最小正周期是______.

\begin{answer} $\dfrac{\pi}{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 正切函数满足 $\tan u=\tan v$ 当且仅当 $u-v=k\pi$，其中 $k\in\mathbf{Z}$. 若 $T$ 是 $y=\tan 2x$ 的周期，则对定义域内任意 $x$，有 $\tan(2x+2T)=\tan 2x$，从而 $2T=k\pi$. 取最小正整数 $k=1$，得到 $T=\dfrac{\pi}{2}$；反之，$\tan\left(2x+\pi\right)=\tan 2x$，所以最小正周期确为 $\dfrac{\pi}{2}$. \end{solution}

函数 $y=-\sin 2x+3$ 的最大值是（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 对任意实数 $x$，有 $-1\leqslant\sin 2x\leqslant1$. 两边同乘以 $-1$ 后不等号反向，得 $-1\leqslant-\sin 2x\leqslant1$，再加上 $3$，得到 $2\leqslant-\sin 2x+3\leqslant4$. 当 $\sin 2x=-1$ 时上界可以取到，例如取 $2x=\dfrac{3\pi}{2}$，所以最大值为 $4$，选 C. \end{solution}

(1) 证明万能公式：$\sin\alpha=\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha}{2}}$. (2) 已知：$\cos\alpha=-\frac{1}{3}$，$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$，求：$\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{5\pi}{6}\right)$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 $\tan\dfrac{\alpha}{2}$ 有意义时，即 $\alpha\neq(2m+1)\pi$（$m\in\mathbf{Z}$），有 $\cos\dfrac{\alpha}{2}\neq0$. 由正弦二倍角公式并将分子、分母同除以 $\cos^2\dfrac{\alpha}{2}$，得 所以公式得证. \item 由 $\pi<\alpha<\dfrac{3\pi}{2}$，两边同除以 $2$，得 $\dfrac{\pi}{2}<\dfrac{\alpha}{2}<\dfrac{3\pi}{4}$，所以 $\dfrac{\alpha}{2}$ 位于第二象限，正弦为正、余弦为负. 由半角公式， $\cos\dfrac{\alpha}{2}=-\sqrt{\dfrac{1+\cos\alpha}{2}}=-\sqrt{\dfrac{1-\frac13}{2}}=-\dfrac{1}{\sqrt3}$， $\sin\dfrac{\alpha}{2}=\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+\frac13}{2}}=\sqrt{\dfrac23}$. 又因为 $\cos\dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt3}{2}$，$\sin\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac12$，由两角和公式得 \end{enumerate} \end{solution}

设 $\triangle ABC$ 的两个内角 $A$，$B$ 所对的边分别为 $a$，$b$. 若复数 $z_1$ 的模为 $a$，幅角为 $B$；复数 $z_2$ 的模为 $b$，幅角为 $-A$. 求证：$z_1+z_2$ 为实数.

\begin{solution} 由复数的三角形式，$z_1=a\left(\cos B+\mathrm{i}\sin B\right)$，$z_2=b\left(\cos A-\mathrm{i}\sin A\right)$. 因此 $z_1+z_2=\left(a\cos B+b\cos A\right)+\mathrm{i}\left(a\sin B-b\sin A\right)$.

在三角形 $ABC$ 中，由正弦定理，存在同一个正数 $k$，使得 $a=k\sin A$，$b=k\sin B$. 所以虚部中的系数为 $a\sin B-b\sin A=k\sin A\sin B-k\sin B\sin A=0$. 于是 $z_1+z_2=a\cos B+b\cos A$ 没有虚部，是实数. \end{solution}