如图，在圆柱 $O_1O_2$ 内有一个球 $O$，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切，记圆柱 $O_1O_2$ 的体积为 $V_1$，球 $O$ 的体积为 $V_2$，则 $\dfrac{V_1}{V_2}$ 的值是______.

如图，在三棱锥 $A-BCD$ 中，$AB\perp AD$，$BC\perp BD$，平面 $ABD\perp$ 平面 $BCD$，点 $E$，$F$（$E$ 与 $A$，$D$ 不重合）分别在棱 $AD$，$BD$ 上，且 $EF\perp AD$.

求证：

(1) $EF\parallel$ 平面 $ABC$； (2) $AD\perp AC$.

如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器 $I$ 和正四棱台形玻璃容器 $II$ 的高均为 $32\text{ cm}$，容器 $I$ 的底面对角线 $AC$ 的长为 $10\sqrt7\text{ cm}$，容器 $II$ 的两底面对角线 $EG$，$E_1G_1$ 的长分别为 $14\text{ cm}$ 和 $62\text{ cm}$. 分别在容器 $I$ 和容器 $II$ 中注入水，水深均为 $12\text{ cm}$. 现有一根玻璃棒 $l$，其长度为 $40\text{ cm}$. （容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计）

(1) 将 $l$ 放在容器 $I$ 中，$l$ 的一端置于点 $A$ 处，另一端置于侧棱 $CC_1$ 上，求 $l$ 没入水中部分的长度； (2) 将 $l$ 放在容器 $II$ 中，$l$ 的一端置于点 $E$ 处，另一端置于侧棱 $GG_1$ 上，求 $l$ 没入水中部分的长度.

如图，$AB$ 为半圆 $O$ 的直径，直线 $PC$ 切半圆 $O$ 于点 $C$，$AP\perp PC$，$P$ 为垂足. 求证：

(1) $\angle PAC=\angle CAB$； (2) $AC^2=AP\cdot AB$.

如图，在平行六面体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AA_1\perp$ 平面 $ABCD$，且 $AB=AD=2$，$AA_1=\sqrt3$，$\angle BAD=120^\circ$.

(1) 求异面直线 $A_1B$ 与 $AC_1$ 所成角的余弦值； (2) 求二面角 $B-A_1D-A$ 的正弦值.