在极坐标系中，曲线 $\rho=\cos\theta+1$ 与 $\rho\cos\theta=1$ 的公共点到极点的距离为______. \begin{answer} $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 极坐标中 $\rho\cos\theta=1$，故 $\cos\theta=\frac{1}{\rho}$. 与 $\rho=\cos\theta+1$ 联立，得 其根为 $\frac{1+\sqrt5}{2}$ 和 $\frac{1-\sqrt5}{2}$. 后一个根的绝对值小于 $1$，不可能满足 $\left|\cos\theta\right|=\left|\frac{1}{\rho}\right|\leqslant1$，故公共点到极点的距离为正根 \end{solution}

设 $AB$ 是椭圆 $\Gamma$ 的长轴，点 $C$ 在 $\Gamma$ 上，且 $\angle CBA=\frac{\pi}{4}$，若 $AB=4$，$BC=\sqrt{2}$，则 $\Gamma$ 的两个焦点之间的距离为______. \begin{answer} $\frac{4\sqrt{6}}{3}$ \end{answer}

\begin{solution} 设椭圆的长半轴为 $a$，短半轴为 $b$，焦半距为 $c$. 由 $AB=4$，得 $a=2$. 取 $B=(2,0)$，使 $BA$ 沿负 $x$ 轴；由 $BC=\sqrt2$ 且 $\angle CBA=\frac{\pi}{4}$，可取 （取 $C=(1,-1)$ 时计算相同）. 因 $C$ 在椭圆上， 所以 $b^2=\frac{4}{3}$. 于是 两个焦点之间的距离为 $2c$，故 \end{solution}

如图，已知双曲线 $C_1:\frac{x^2}{2}-y^2=1$，曲线 $C_2:|y|=|x|+1$. $P$ 是平面内一点，若存在过点 $P$ 的直线与 $C_1$，$C_2$ 都有公共点，则称 $P$ 为 “$C_1-C_2$ 型点”.

(1) 在正确证明 $C_1$ 的左焦点是“$C_1-C_2$ 型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）； (2) 设直线 $y=kx$ 与 $C_2$ 有公共点. 求证 $|k|>1$，进而证明原点不是“$C_1-C_2$ 型点”； (3) 求证：圆 $x^2+y^2=\frac{1}{2}$ 内的点都不是 “$C_1-C_2$ 型点”.