若 ，则 $x+y=$______. \begin{answer} $0$ \end{answer}

\begin{solution} 计算两个行列式，原等式化为 移项得 所以 $x+y=0$. \end{solution}

设 $a$ 为实常数，$y=f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，当 $x<0$ 时， $f(x)=9x+\frac{a^2}{x}+7$. 若 $f(x)\geqslant a+1$ 对一切 $x\geqslant 0$ 成立，则 $a$ 的取值范围为______. \begin{answer} $\left(-\infty,-\frac{8}{7}\right]$ \end{answer}

\begin{solution} 奇函数满足 $f(0)=0$，由题设不等式在 $x=0$ 时得 $0\geqslant a+1$，即 $a\leqslant-1$，所以 $a<0$. 当 $x>0$ 时，由奇性和题设中负数部分的表达式， 故所需条件等价于 $9x+\frac{a^2}{x}\geqslant a+8$，$x>0$. 因为 $a<0$，由基本不等式 且在 $x=\frac{-a}{3}>0$ 时取等号. 因此上式对所有 $x>0$ 成立，当且仅当 即 $a\leqslant-\frac87$. 该范围自动满足 $a\leqslant-1$，所以 \end{solution}

设常数 $a \in \mathbf{R}$，集合 $A=\{x\mid(x-1)(x-a)\geqslant 0\}$，$B=\{x\mid x\geqslant a-1\}$. 若 $A\cup B=\mathbf{R}$，则 $a$ 的取值范围为（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 当 $a\leqslant1$ 时， 而 $B=[a-1,+\infty)$. 因为 $a-1<a$，三段合起来覆盖整个实数轴.

当 $a>1$ 时， 要使 $A\cup B=\mathbf{R}$，必须使 $B$ 的左端点满足 $a-1\leqslant1$，即 $a\leqslant2$；反之 $1<a\leqslant2$ 时确实有 $A\cup B=\mathbf{R}$. 综上 $a\leqslant2$，故选 B. \end{solution}

甲厂以 $x$ 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求 $1\leqslant x\leqslant 10$），每一小时可获得利润是 $100\left(5x+1-\frac{3}{x}\right)$ 元.

(1) 要使生产该产品 $2$ 小时获得的利润不低于 $3000$ 元，求 $x$ 的取值范围； (2) 要使生产 $900$ 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.

给定常数 $c>0$，定义函数 $f(x)=2|x+c+4|-|x+c|$，数列 $a_1$，$a_2$，$a_3$，$\ldots$ 满足 $a_{n+1}=f(a_n)$，$n\in \mathbf{N}^*$.

(1) 若 $a_1=-c-2$，求 $a_2$ 及 $a_3$； (2) 求证：对任意 $n\in \mathbf{N}^*$，$a_{n+1}-a_n\geqslant c$； (3) 是否存在 $a_1$，使得 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$，$\cdots$ 成等差数列？ 若存在，求出所有这样的 $a_1$，若不存在，说明理由.