(1) 求 $\left(2-x\right)^{10}$ 展开式里 $x^7$ 的系数. (2) 解方程 $2\lg x=\lg\left(x+12\right)$. （注：$\lg$ 是以 $10$ 为底的对数的符号.） (3) 求函数 $y=\frac{\sqrt{x-1}}{x-5}$ 的自变量 $x$ 的允许值的范围. (4) 求 $\sin\frac{\pi}{12}\sin\frac{5\pi}{12}$ 的值. (5) 一个水平放着的圆柱形排水管，内半径是 $12\text{ 厘米}$. 排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含有 $150^\circ$（如图）. 求这个截面上有水部分的面积. （取 $\pi=3.14$） (6) 已知 $\triangle ABC$ 的一边 $BC$ 在平面 $N$ 内，$\triangle ABC$ 所在的平面与平面 $N$ 组成二面角 $a$（$a<90^\circ$）. 从 $A$ 点作平面 $N$ 的垂线 $AA'$，$A'$ 是垂足. 设 $\triangle ABC$ 的面积是 $S$，求证 $\triangle A'BC$ 的面积是 $S\cos a$.

一个机器制造厂的三年生产计划，每年比上一年增产机器的台数相同. 如果第三年比原计划多生产 $1\text{ 千台}$，那末每年比上一年增长的百分数就相同，而且第三年生产的台数恰等于原计划三年生产总台数的一半，原计划每年各生产机器多少台？

$k$ 是什么实数的时候，方程 $x^2-2\left(k+3\right)x+3k^2+1=0$ 有实数根？