已知 $f(x)=\mathrm{e}^x-\frac{2}{3}\sin x$.

(1) 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程； (2) 当 $x\in \left[ -\frac{1}{3},+\infty \right)$ 时，证明 $f(x)\ge 1+\frac{x}{3}$； (3) 求实数 $a$ 的最大可能值，使得 $f\left( \frac{1}{1} \right)\cdot f\left( \frac{1}{2} \right)\cdot f\left( \frac{1}{3} \right)\cdots f\left( \frac{1}{n} \right)\ge (n+1)^a$ 对任意的 $n\in \mathbf{N}^*$ 都成立.