在平面直角坐标系中，倾斜角为 $\frac{\pi}{4}$ 的直线 $l$ 与曲线 （$\alpha$ 为参数）交于 $A$，$B$ 两点，且 $|AB| = 2$，以坐标原点 $O$ 为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线 $l$ 的极坐标方程是______. \begin{answer} $\rho(\cos\theta-\sin\theta)=1$ \end{answer}

\begin{solution} 曲线 $C$ 是圆 $(x-2)^2+(y-1)^2=1$，圆心为 $(2,1)$，半径为 $1$. 弦长 $|AB|=2$ 等于直径，所以直线 $l$ 经过圆心. 其倾斜角为 $\frac{\pi}{4}$，斜率为 $1$，故 即 $y=x-1$. 代入 $x=\rho\cos\theta$，$y=\rho\sin\theta$，得 所以直线的极坐标方程为 $\rho(\cos\theta-\sin\theta)=1$. \end{solution}

如图，已知 $AB$，$BC$ 是 $\odot O$ 的两条弦，$AO \perp BC$，$AB = \sqrt{3}$，$BC = 2\sqrt{2}$，则 $\odot O$ 的半径等于______.

\begin{answer} $\frac{3}{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 设 $M$ 为弦 $BC$ 的中点. 因为圆心到弦的垂线平分弦，所以 $AO\perp BC$ 使得 $A$，$O$，$M$ 共线，且 在直角三角形 $ABM$ 中， 所以 $AM=1$. 设圆半径为 $R$，$OM=u$. 在直角三角形 $OMB$ 中，$R^2=u^2+2$，从而 $R>u$. 若 $O$ 在 $A$、$M$ 之间，则 $R+u=1$；若三点不按此顺序排列，则 $R-u=1$. 结合 分别得到 $R-u=2$ 或 $R+u=2$，两种情形均有 $2R=3$. 因而 $R=\frac{3}{2}$. \end{solution}

如图，正方形 $ABCD$ 和正方形 $DEFG$ 的边长分别为 $a$，$b$（$a < b$），原点 $O$ 为 $AD$ 的中点，抛物线 $y^{2} = 2px$（$p > 0$） 经过 $C$，$F$ 两点，则 $\frac{b}{a} =$______.

\begin{answer} $1+\sqrt{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 建立如图所示的直角坐标系，令 $AD$ 在 $x$ 轴上且正方形 $ABCD$ 位于其下方，则 $A\left(-\frac a2,0\right)$，$D\left(\frac a2,0\right)$，$C\left(\frac a2,-a\right)$，$F\left(\frac a2+b,b\right)$. 把点 $C$ 代入抛物线方程，得 $a^2=2p\cdot\frac a2=pa$，所以 $p=a$. 再把点 $F$ 代入，得 令 $r=\frac{b}{a}$，由 $a>0$ 得 $r^2=1+2r$，即 $r^2-2r-1=0$. 因为 $b>a$，取正根，故 $\frac ba=1+\sqrt2$. \end{solution}

如图，$O$ 为坐标原点，椭圆 $C_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$） 的左，右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，离心率为 $e_1$；双曲线 $C_2: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_3$，$F_4$，离心率为 $e_2$. 已知 $e_1 e_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$，且 $|F_2 F_4| = \sqrt{3} - 1$.

(1) 求 $C_{1}$，$C_{2}$ 的方程； (2) 过 $F_{1}$ 作 $C_{1}$ 的不垂直于 $y$ 轴的弦 $AB$，$M$ 为弦 $AB$ 的中点. 当直线 $OM$ 与 $C_{2}$ 交于 $P$，$Q$ 两点时，求四边形 $APBQ$ 面积的最小值.

\begin{solution} 设椭圆和双曲线的焦距参数分别为 $c=\sqrt{a^2-b^2}$，$d=\sqrt{a^2+b^2}$. 则 $e_1=\frac{c}{a}$，$e_2=\frac{d}{a}$，从而 $e_1^2+e_2^2=\frac{c^2+d^2}{a^2}=2$，$e_1^2e_2^2=\frac34$. 所以 $e_1^2$、$e_2^2$ 是方程 $u^2-2u+\frac34=0$ 的两个根，即 $\frac12$、$\frac32$. 由于椭圆离心率小于 $1$，有 $e_1=\frac{1}{\sqrt2}$，$e_2=\sqrt{\frac32}$. 又因为 $F_2=(c,0)$，$F_4=(d,0)$，所以 而 $e_2-e_1=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2}$，故 $a=\sqrt2$. 于是 $c=1$，$b^2=a^2-c^2=1$，即 $C_1:\frac{x^2}{2}+y^2=1$，$C_2:\frac{x^2}{2}-y^2=1$.

第二问先设弦 $AB$ 的斜率为 $k$，由于题设排除了垂直于 $y$ 轴的水平弦，故 $k\ne0$. 直线方程为 $y=k(x+1)$. 与椭圆联立得 由根与系数的关系，弦中点为 因此直线 $OM$ 的方向向量可取 $(-2k,1)$. 令该直线上的点为 $(x,y)=t(-2k,1)$，代入 $C_2$ 得 由于题设要求有两个交点，必须有 $k^2>\frac12$，此时 设椭圆交点的横坐标之差的绝对值为 $|\Delta x|$. 由上面二次方程的判别式， 所以 四边形 $APBQ$ 的两条对角线为 $AB$、$PQ$，且交点为 $M$. 因此用向量行列式计算面积，注意 得到 有限斜率下 还需考虑 $AB\parallel y$ 轴的情形，此时弦为 $x=-1$，其中点为 $M=(-1,0)$，直线 $OM$ 为 $x$ 轴，与双曲线交于 $(-\sqrt2,0)$、$(\sqrt2,0)$. 此时 $AB=\sqrt2$，$PQ=2\sqrt2$，故 $S=2$. 因而四边形 $APBQ$ 面积的最小值为 $2$. \end{solution}