已知 $f(x)$，$g(x)$ 分别是定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数和奇函数，且 $f(x) - g(x) = x^{3} + x^{2} + 1$，则 $f(1) + g(1) =$（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 把题设等式中的 $x$ 换成 $-x$，并利用 $f$ 为偶函数、$g$ 为奇函数，得 令 $x=1$，得到 $f(1)+g(1)=-1+1+1=1$，故选 C. \end{solution}

执行如图所示的程序框图，如果输入的 $t \in [-2, 2]$，则输出的 $S$ 属于（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 当 $t\geqslant0$ 时，程序直接输出 $S=t-3$，所以 $S\in[-3,-1]$. 当 $-2\leqslant t<0$ 时，程序先把 $t$ 更新为 $2t^2+1$. 此时 $2t^2+1>0$，下一次判断直接进入输出分支，于是 $S=2t^2-2$. 因为 $t^2\in(0,4]$，所以 $S\in(-2,6]$.

合并两种情况得 $S\in[-3,6]$，故选 D. \end{solution}

已知函数 $f(x) = x^2 + \mathrm{e}^x - \frac{1}{2}$（$x < 0$） 与 $g(x) = x^2 + \ln\left(x + a\right)$ 的图象上存在关于 $y$ 轴对称的点，则 $a$ 的取值范围是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 取函数 $f$ 图象上的点 $(x,f(x))$，其中 $x<0$. 其关于 $y$ 轴的对称点为 $(-x,f(x))$，要在 $g$ 的图象上，就必须满足 因此 $a=x+\exp\left(\mathrm{e}^x-\frac12\right)$，$x<0$. 记 $h(x)=x+\exp(\mathrm{e}^x-\frac12)$. 则 所以 $h$ 在 $(-\infty,0)$ 上严格递增. 又 $\lim_{x\to-\infty}h(x)=-\infty$，$\lim_{x\to0^-}h(x)=\exp\left(\frac12\right)=\sqrt{\mathrm{e}}$. 由于 $x=0$ 不在取值范围内，$h$ 的值域为 $(-\infty,\sqrt{\mathrm{e}})$. 故选 B. \end{solution}

若变量 $x$，$y$ 满足约束条件 且 $z = 2x + y$ 的最小值为$-6$，则 $k =$______. \begin{answer} $-2$ \end{answer}

\begin{solution} 由 $y\leqslant x$ 及目标函数中 $x$ 的系数为正，对固定的 $y$，使 $z=2x+y$ 取得最小值时应取 $x=y$. 于是 $z\geqslant3y$. 约束还给出 $y\geqslant k$，所以在可行域内 取 $x=y=k$ 时，第三个约束和第一个约束均满足；只要可行域存在，还需 $2k\leqslant4$，本题所得 $k$ 满足这一条件. 因而最小值为 $3k$，由 $3k=-6$ 得 $k=-2$. 此时 $(x,y)=(-2,-2)$ 可行，故结论成立. \end{solution}