已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_1 = 1$，$|a_{n + 1} - a_n| = p^n$，$n \in \mathbf{N}^*$.

(1) 若 $\{a_n\}$ 是递增数列，且 $a_1$，$2a_2$，$3a_3$ 成等差数列，求 $p$ 的值； (2) 若 $p = \frac{1}{2}$，且 $\{a_{2n-1}\}$ 是递增数列，$\{a_{2n}\}$ 是递减数列，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式.

\begin{solution} 因为 $p^n=|a_{n+1}-a_n|\geqslant0$ 对任意正整数 $n$ 成立，且第一问中的数列递增，所以 $p>0$. 于是 $a_2=1+p$，$a_3=1+p+p^2$. 三个数 $a_1$，$2a_2$，$3a_3$ 成等差数列，故 代入上式得 $4(1+p)=1+3(1+p+p^2)$，即 $p(1-3p)=0$. 由 $p>0$，得 $p=\frac13$.

第二问中令 $d_n=a_{n+1}-a_n$，则 $|d_n|=2^{-n}$. 由奇数项组成的数列递增， 由于 $|d_{2n-1}|=2|d_{2n}|$，只能有 $d_{2n-1}=2^{-(2n-1)}$. 由偶数项组成的数列递减， 由于 $|d_{2n}|=2|d_{2n+1}|$，只能有 $d_{2n}=-2^{-2n}$. 因而对所有 $n\geqslant1$， 于是 \end{solution}