一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削，打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 由三视图可知，该几何体是棱长为 $12$ 的直三棱柱，三棱柱的直角三角形底面的两条直角边长分别为 $6$、$8$，斜边长为 $10$. 这个三角形的内切圆半径为 任意内接球在垂直于棱柱侧棱的截面上都是内接于该直角三角形的圆，所以球半径不超过 $2$. 另一方面，将球心取在三角形内心且位于棱柱长度方向的中点，半径为 $2$ 的球到两个端面的距离均为 $6$，能完整置于棱柱内. 因而最大半径为 $2$，故选 B. \end{solution}

如图，四棱柱 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的所有棱长都相等，$AC \cap BD = O$，$A_{1}C_{1} \cap B_{1}D_{1} = O_{1}$，四边形 $ACC_{1}A_{1}$ 和四边形 $BDD_{1}B_{1}$ 均为矩形.

(1) 证明：$O_{1}O \perp$ 底面 $ABCD$； (2) 若 $\angle CBA = 60^{\circ}$，求二面角 $C_{1} - OB_{1} - D$ 的余弦值.

\begin{solution} 因为四边形 $ACC_1A_1$ 是矩形，所以 $CC_1\perp AC$. 同理，由矩形 $BDD_1B_1$ 得 $DD_1\perp BD$. 四棱柱的侧棱互相平行，故 $CC_1\parallel DD_1$，于是同一方向的直线同时垂直于底面内相交的两条直线 $AC$、$BD$，从而 $CC_1\perp$ 底面 $ABCD$. 又 $OO_1\parallel CC_1$，所以 $OO_1\perp$ 底面 $ABCD$.

设四棱柱的棱长为 $l$. 以 $O$ 为原点，取 $AC$、$BD$ 所在直线为坐标轴，并令底面为 $z=0$，可设 $A\left(-\frac l2,0,0\right)$，$C\left(\frac l2,0,0\right)$，$B\left(0,-\frac{\sqrt3l}{2},0\right)$，$D\left(0,\frac{\sqrt3l}{2},0\right)$. 这些点构成边长为 $l$ 且 $\angle CBA=60^{\circ}$ 的菱形. 由第一问及侧棱长为 $l$，有 $C_1\left(\frac l2,0,l\right)$，$B_1\left(0,-\frac{\sqrt3l}{2},l\right)$. 平面 $C_1OB_1$ 的一个法向量为 平面 $OB_1D$ 的一个法向量为 所以二面角的余弦值为 \end{solution}