已知二次函数 $y = f(x)$ 的图象经过坐标原点，其导函数为 $f'(x) = 6x - 2$，数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，点 $(n, S_n)$（$n \in \mathbf{N}^*$）均在函数 $y = f(x)$ 的图象上.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； (2) 设 $b_n = \frac{3}{a_n a_{n+1}}$，$T_n$ 是数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和，求使得 $T_n < \frac{m}{20}$ 对所有 $n \in \mathbf{N}^*$ 都成立的最小正整数 $m$.

设 $x = 3$ 是函数 $f(x) = (x^2 + ax + b)\mathrm{e}^{3 - x}$（$x \in \mathbf{R}$）的一个极值点.

(1) 求 $a$ 与 $b$ 的关系式（用 $a$ 表示 $b$），并求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 设 $a > 0$，$g(x) = \left(a^2 + \frac{25}{4}\right)\mathrm{e}^x$. 若存在 $\xi_1$，$\xi_2 \in [0,4]$ 使得 $\left|f(\xi_1) - g(\xi_2)\right| < 1$ 成立，求 $a$ 的取值范围.