设 $f(x) = \lg \frac{2 + x}{2 - x}$，则 $f\left(\frac{x}{2}\right) + f\left(\frac{2}{x}\right)$ 的定义域为（ ）

关于 $x$ 的方程 $(x^{2} - 1)^{2} - |x^{2} - 1| + k = 0$，给出下列四个命题：

① 存在实数 $k$，使得方程恰有 $2$ 个不同的实根； ② 存在实数 $k$，使得方程恰有 $4$ 个不同的实根； ③ 存在实数 $k$，使得方程恰有 $5$ 个不同的实根； ④ 存在实数 $k$，使得方程恰有 $8$ 个不同的实根.

其中假命题的个数是（ ）

设 $x = 3$ 是函数 $f(x) = (x^2 + ax + b)\mathrm{e}^{3 - x}$（$x \in \mathbf{R}$）的一个极值点.

(1) 求 $a$ 与 $b$ 的关系式（用 $a$ 表示 $b$），并求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 设 $a > 0$，$g(x) = \left(a^2 + \frac{25}{4}\right)\mathrm{e}^x$. 若存在 $\xi_1$，$\xi_2 \in [0,4]$ 使得 $\left|f(\xi_1) - g(\xi_2)\right| < 1$ 成立，求 $a$ 的取值范围.