关于直线 $m$，$n$ 与平面 $\alpha$，$\beta$，有以下四个命题：

① 若 $m \parallel \alpha$，$n \parallel \beta$ 且 $\alpha \parallel \beta$，则 $m \parallel n$； ② 若 $m \perp \alpha$，$n \perp \beta$ 且 $\alpha \perp \beta$，则 $m \perp n$； ③ 若 $m \perp \alpha$，$n \parallel \beta$ 且 $\alpha \parallel \beta$，则 $m \perp n$； ④ 若 $m \parallel \alpha$，$n \perp \beta$ 且 $\alpha \perp \beta$，则 $m \parallel n$.

其中真命题的序号是（ ）

如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$P$ 是侧棱 $CC_{1}$ 上的一点，$CP = m$.

(1) 试确定 $m$，使直线 $AP$ 与平面 $BDD_{1}B_{1}$ 所成角的正切值为 $3\sqrt{2}$； (2) 在线段 $A_{1}C_{1}$ 上是否存在一个定点 $Q$，使得对任意的 $m$，$D_{1}Q$ 在平面 $APD_{1}$ 上的射影垂直于 $AP$，并证明你的结论.