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01平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(3,1)\boldsymbol{a} = (\sqrt{3}, 1)，b\boldsymbol{b} 是不平行于 xx 轴的单位向量，且 a⋅b=3\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \sqrt{3}，则 b=\boldsymbol{b} =（ ）
A.
(32,12)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)
B.
(12,32)\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
C.
(14,334)\left(\frac{1}{4}, \frac{3\sqrt{3}}{4}\right)
D.
(1,0)\left(1,0\right)

2006 · 湖北 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02数列★★☆☆☆
若互相不等的实数 aa，bb，cc 成等差数列，cc，aa，bb 成等比数列，且 a+3b+c=10a + 3b + c = 10，则 a=a =（ ）
A.
44
B.
22
C.
−2-2
D.
−4-4

2006 · 湖北 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA 满足 sin⁡2A=23\sin 2A = \frac{2}{3}，则 sin⁡A+cos⁡A=\sin A + \cos A =（ ）
A.
153\frac{\sqrt{15}}{3}
B.
−153-\frac{\sqrt{15}}{3}
C.
53\frac{5}{3}
D.
−53-\frac{5}{3}

2006 · 湖北 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
设 f(x)=lg⁡2+x2−xf(x) = \lg \frac{2 + x}{2 - x}，则 f(x2)+f(2x)f\left(\frac{x}{2}\right) + f\left(\frac{2}{x}\right) 的定义域为（ ）
A.
(−4,0)∪(0,4)(-4,0)\cup(0,4)
B.
(−4,−1)∪(1,4)(-4,-1)\cup(1,4)
C.
(−2,−1)∪(1,2)(-2,-1)\cup(1,2)
D.
(−4,−2)∪(2,4)(-4,-2)\cup(2,4)

2006 · 湖北 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05计数原理与组合数学★★★☆☆
在 (x−1x3)24\left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{24} 的展开式中，xx 的幂的指数是整数的项共有（ ）
A.
33项
B.
44项
C.
55项
D.
99项

2006 · 湖北 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★★☆☆
关于直线 mm，nn 与平面 α\alpha，β\beta，有以下四个命题：
① 若 m∥αm \parallel \alpha，n∥βn \parallel \beta 且 α∥β\alpha \parallel \beta，则 m∥nm \parallel n； ② 若 m⊥αm \perp \alpha，n⊥βn \perp \beta 且 α⊥β\alpha \perp \beta，则 m⊥nm \perp n； ③ 若 m⊥αm \perp \alpha，n∥βn \parallel \beta 且 α∥β\alpha \parallel \beta，则 m⊥nm \perp n； ④ 若 m∥αm \parallel \alpha，n⊥βn \perp \beta 且 α⊥β\alpha \perp \beta，则 m∥nm \parallel n.
其中真命题的序号是（ ）
A.
①②
B.
③④
C.
①④
D.
②③

2006 · 湖北 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07平面向量★★★☆☆
设过点 P(x,y)P(x, y) 的直线分别与 xx 轴的正半轴和 yy 轴的正半轴交于 AA，BB 两点，点 QQ 与点 PP 关于 yy 轴对称，OO 为坐标原点，若 BP→=2PA→\overrightarrow{BP} = 2\overrightarrow{PA} 且 OQ→⋅AB→=1\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{AB} = 1，则点 PP 的轨迹方程是（ ）
A.
3x2+32y2=13x^{2} + \frac{3}{2} y^{2} = 1（x>0x > 0，y>0y > 0）
B.
3x2−32y2=13x^{2} - \frac{3}{2} y^{2} = 1（x>0x > 0，y>0y > 0）
C.
32x2−3y2=1\frac{3}{2} x^{2} - 3y^{2} = 1（x>0x > 0，y>0y > 0）
D.
32x2+3y2=1\frac{3}{2} x^{2} + 3y^{2} = 1（x>0x > 0，y>0y > 0）

2006 · 湖北 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08集合与逻辑基础★★★☆☆
有限集合 SS 中元素的个数记作 card⁡(S)\operatorname{card}(S). 设 AA，BB 都为有限集合，给出下列命题：
① A∩B=∅A \cap B = \varnothing 的充要条件是 card⁡(A∪B)=card⁡(A)+card⁡(B)\operatorname{card}(A \cup B) = \operatorname{card}(A) + \operatorname{card}(B)； ② A⊆BA \subseteq B 的必要条件是 card⁡(A)⩽card⁡(B)\operatorname{card}(A) \leqslant \operatorname{card}(B)； ③ A⊈BA \nsubseteq B 的充分条件是 card⁡(A)⩽card⁡(B)\operatorname{card}(A) \leqslant \operatorname{card}(B)； ④ A=BA = B 的充要条件是 card⁡(A)=card⁡(B)\operatorname{card}(A) = \operatorname{card}(B).
其中真命题的序号是（ ）
A.
③④
B.
①②
C.
①④
D.
②③

2006 · 湖北 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09解析几何★★★☆☆
已知平面区域 DD 由以 A(1,3)A(1,3)，B(5,2)B(5,2)，C(3,1)C(3,1) 为顶点的三角形内部和边界组成. 若在区域 DD 上有无穷多个点 (x,y)(x, y) 可使目标函数 z=x+myz = x + my 取得最小值，则 m=m =（ ）
A.
−2-2
B.
−1-1
C.
11
D.
44

2006 · 湖北 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
关于 xx 的方程 (x2−1)2−∣x2−1∣+k=0(x^{2} - 1)^{2} - |x^{2} - 1| + k = 0，给出下列四个命题：
① 存在实数 kk，使得方程恰有 22 个不同的实根； ② 存在实数 kk，使得方程恰有 44 个不同的实根； ③ 存在实数 kk，使得方程恰有 55 个不同的实根； ④ 存在实数 kk，使得方程恰有 88 个不同的实根.
其中假命题的个数是（ ）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

2006 · 湖北 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11复数★★☆☆☆
设 xx，yy 为实数，且 x1−i+y1−2i=51−3i\frac{x}{1 - \mathrm{i}} + \frac{y}{1 - 2\mathrm{i}} = \frac{5}{1 - 3\mathrm{i}}，则 x+y=x + y =______.

2006 · 湖北 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12概率与统计★★☆☆☆
接种某疫苗后，出现发热反应的概率为 0.800.80，现有 55 人接种该疫苗，至少有 33 人出现发热反应的概率为______. （精确到 0.010.01）

2006 · 湖北 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★☆☆☆
已知直线 5x+12y+a=05x + 12y + a = 0 与圆 x2−2x+y2=0x^{2} - 2x + y^{2} = 0 相切，则 aa 的值为______.

2006 · 湖北 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★☆☆
某工程队有 66 项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行. 那么安排这 66 项工程的不同排法种数是______. （用数字作答）

2006 · 湖北 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
将杨辉三角中的每一个数 Cnr\mathrm{C}_n^r 都换成分数 1(n+1)Cnr\frac{1}{(n + 1)\mathrm{C}_n^r}，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.
\begin{array}{c} &&&&&&$\displaystyle\frac{1}{1}$&&&&&&\\ &&&&&$\displaystyle\frac{1}{2}$&&$\displaystyle\frac{1}{2}$&&&&&\\ &&&&$\displaystyle\frac{1}{3}$&&$\displaystyle\frac{1}{6}$&&$\displaystyle\frac{1}{3}$&&&&\\ &&&$\displaystyle\frac{1}{4}$&&$\displaystyle\frac{1}{12}$&&$\displaystyle\frac{1}{12}$&&$\displaystyle\frac{1}{4}$&&&\\ &&$\displaystyle\frac{1}{5}$&&$\displaystyle\frac{1}{20}$&&$\displaystyle\frac{1}{30}$&&$\displaystyle\frac{1}{20}$&&$\displaystyle\frac{1}{5}$&&\\ &$\displaystyle\frac{1}{6}$&&$\displaystyle\frac{1}{30}$&&$\displaystyle\frac{1}{60}$&&$\displaystyle\frac{1}{60}$&&$\displaystyle\frac{1}{30}$&&$\displaystyle\frac{1}{6}$&\\ $\displaystyle\frac{1}{7}$&&$\displaystyle\frac{1}{42}$&&$\displaystyle\frac{1}{105}$&&$\displaystyle\frac{1}{140}$&&$\displaystyle\frac{1}{105}$&&$\displaystyle\frac{1}{42}$&&$\displaystyle\frac{1}{7}$\\ \multicolumn{13}{c}{$\cdots\cdots$} \end{array}
从莱布尼茨三角形可看出 1(n+1)Cnr+1(n+1)Cnx=1nCn−1r\frac{1}{(n + 1)\mathrm{C}_n^{r}} + \frac{1}{(n + 1)\mathrm{C}_n^{x}} = \frac{1}{n\mathrm{C}_{n - 1}^{r}}，其中 x=x =______，令 an=13+112+⋯+1nCn−12+1(n+1)Cn2a_n = \frac{1}{3} + \frac{1}{12} + \cdots + \frac{1}{n\mathrm{C}_{n - 1}^{2}} + \frac{1}{(n + 1)\mathrm{C}_n^{2}}，则 lim⁡n→∞an=\lim\limits_{n\to \infty} a_n =______.

2006 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16平面向量★★★★☆
设函数 f(x)=a⋅(b+c)f(x) = \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c})，其中向量 a=(sin⁡x,−cos⁡x)\boldsymbol{a} = (\sin x, -\cos x)，b=(sin⁡x,−3cos⁡x)\boldsymbol{b} = (\sin x, -3\cos x)，c=(−cos⁡x,sin⁡x)\boldsymbol{c} = (-\cos x, \sin x)，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的最大值和最小正周期； (2) 将函数 f(x)f(x) 的图像按向量 d\boldsymbol{d} 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的 d\boldsymbol{d}.

2006 · 湖北 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
已知二次函数 y=f(x)y = f(x) 的图象经过坐标原点，其导函数为 f′(x)=6x−2f'(x) = 6x - 2，数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，点 (n,Sn)(n, S_n)（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）均在函数 y=f(x)y = f(x) 的图象上.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 设 bn=3anan+1b_n = \frac{3}{a_n a_{n+1}}，TnT_n 是数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和，求使得 Tn<m20T_n < \frac{m}{20} 对所有 n∈N∗n \in \mathbf{N}^* 都成立的最小正整数 mm.

2006 · 湖北 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，在棱长为 11 的正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，PP 是侧棱 CC1CC_{1} 上的一点，CP=mCP = m.
(1) 试确定 mm，使直线 APAP 与平面 BDD1B1BDD_{1}B_{1} 所成角的正切值为 323\sqrt{2}； (2) 在线段 A1C1A_{1}C_{1} 上是否存在一个定点 QQ，使得对任意的 mm，D1QD_{1}Q 在平面 APD1APD_{1} 上的射影垂直于 APAP，并证明你的结论.

2006 · 湖北 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 N(70,100)N(70,100). 已知成绩在 9090 分以上（含 9090 分）的学生有 1212 名.
(1) 试问此次参赛学生总数约为多少人？ (2) 若该校计划奖励竞赛成绩排在前 5050 名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？
x0x_001234
1.30.90320.90490.90660.90820.9099
1.40.91920.92070.92220.92360.9251
1.90.97130.97190.97260.97320.9738
2.00.97720.97780.97830.97880.9793
2.10.98210.98260.98300.98340.9838
x0x_056789
------------------
1.30.91150.91310.91470.91620.9177
1.40.92650.92780.92920.93060.9319
1.90.97440.97500.97560.97620.9767
2.00.97980.98030.98080.98120.9817
2.10.98420.98460.98500.98540.9857

2006 · 湖北 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
设 AA，BB 分别为椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的左，右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且 x=4x = 4 为它的右准线.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设 PP 为右准线上不同于点 (4,0)(4,0) 的任意一点，若直线 APAP，BPBP 分别与椭圆相交于异于 AA，BB 的点 MM，NN，证明点 BB 在以 MNMN 为直径的圆内.

2006 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设 x=3x = 3 是函数 f(x)=(x2+ax+b)e3−xf(x) = (x^2 + ax + b)\mathrm{e}^{3 - x}（x∈Rx \in \mathbf{R}）的一个极值点.
(1) 求 aa 与 bb 的关系式（用 aa 表示 bb），并求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 设 a>0a > 0，g(x)=(a2+254)exg(x) = \left(a^2 + \frac{25}{4}\right)\mathrm{e}^x. 若存在 ξ1\xi_1，ξ2∈[0,4]\xi_2 \in [0,4] 使得 ∣f(ξ1)−g(ξ2)∣<1\left|f(\xi_1) - g(\xi_2)\right| < 1 成立，求 aa 的取值范围.

2006 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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