设常数 $a \in \mathbf{R}$. 若 $\left(x^2 + \frac{a}{x}\right)^5$ 的二项展开式中 $x^7$ 项的系数为 $-10$，则 $a =\underline{\hspace{2em}}$.

\begin{answer} $-2$ \end{answer}

\begin{solution} 展开式的通项为 $\mathrm C_5^k(x^2)^{5-k}\left(\frac{a}{x}\right)^k=\mathrm C_5^k a^k x^{10-3k}$，$k=0$，$1$，$\ldots$，$5$. 要得到 $x^7$ 项，必须满足 $10-3k=7$，所以 $k=1$. 此时 $x^7$ 项的系数为 $\mathrm C_5^1a=5a$. 由 $5a=-10$，得 $a=-2$. \end{solution}

盒子中装有编号为 $1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$，$7$ 的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是______.（结果用最简分数表示）

\begin{answer} $\frac{5}{7}$ \end{answer}

\begin{solution} 从 $7$ 个球中任取 $2$ 个，共有 $\mathrm C_7^2=21$ 种等可能取法. 两球编号之积为奇数，当且仅当两球都是奇数；奇数球有 $1$，$3$，$5$，$7$ 共 $4$ 个，故这种取法有 $\mathrm C_4^2=6$ 种. 因而积为偶数的取法有 $21-6=15$ 种，所求概率为 \end{solution}