函数 $f(x) = x^2 - 1$ （$x \geqslant 1$）的反函数为 $f^{-1}(x)$，则 $f^{-1}(2)$ 的值是（$\quad$）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 由 $y=x^2-1$ 且 $x\geqslant1$，反解得 $x=\sqrt{y+1}$. 因而 $f^{-1}(x)=\sqrt{x+1}$，所以 因此选 A. \end{solution}

甲厂以 $x\text{ 千克/小时}$ 的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 $1 \leqslant x \leqslant 10$），每一小时可获得的利润是 $100\left(5x + 1 - \frac{3}{x}\right)\text{ 元}$.

(1) 求证：生产 $a\text{ 千克}$ 该产品所获得的利润为 $100a\left(5 + \frac{1}{x} - \frac{3}{x^2}\right)\text{ 元}$； (2) 要使生产 $900\text{ 千克}$ 该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 生产 $a\text{ 千克}$ 产品需要 $\frac{a}{x}$ 小时，所以所获得的利润为 \item 当生产 $900\text{ 千克}$ 产品时，利润函数为 $P(x)=90000\left(5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}\right)$，$1\leqslant x\leqslant10$. 其导数为 由于 $x>0$，当 $1\leqslant x<6$ 时 $P'(x)>0$，当 $6<x\leqslant10$ 时 $P'(x)<0$，所以 $P(x)$ 在 $[1,6]$ 上递增，在 $[6,10]$ 上递减，最大值在 $x=6$ 时取得. 最大利润为 因此甲厂应选择 $6\text{ 千克/小时}$ 的生产速度，最大利润为 $457500\text{ 元}$. \end{enumerate} \end{solution}

已知函数 $f(x) = 2\sin \omega x$. 其中常数 $\omega > 0$.

(1) 令 $\omega = 1$，判断函数 $F(x) = f(x) + f\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ 的奇偶性并说明理由； (2) 令 $\omega = 2$，将函数 $y = f(x)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位，再向上平移 $1$ 个单位，得到函数 $y = g(x)$ 的图象. 对任意的 $a \in \mathbf{R}$，求 $y = g(x)$ 在区间 $[a, a + 10\pi]$ 上零点个数的所有可能值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 $\omega=1$ 时，$f(x)=2\sin x$，所以 于是 $F(-x)=2\cos x-2\sin x$. 又 $F(0)=2\neq-2=-F(0)$，故 $F(x)$ 不是奇函数；并且 $F\left(\frac{\pi}{2}\right)=2$，$F\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-2$，故 $F(x)$ 不是偶函数. 因此 $F(x)$ 既不是奇函数，也不是偶函数. \item 当 $\omega=2$ 时，$f(x)=2\sin2x$. 图象向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 后，横坐标 $x$ 处的函数值为 $f\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$，再向上平移 $1$ 个单位，故 令 $g(x)=0$，得 因此 $2x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\quad\text{或}\quad2x+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{6}+2k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$ 即零点为 $x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\quad\text{或}\quad x=\frac{5\pi}{12}+k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$. 函数 $g(x)$ 的周期为 $\pi$，每个周期内有两个零点. 区间 $[a,a+10\pi]$ 的长度是 $10$ 个周期，因此当 $a$ 不是零点时，区间内有 $20$ 个零点；当 $a$ 是零点时，$a+10\pi$ 也是零点，两个端点同时计入，区间内有 $21$ 个零点. 故所有可能值为 $20$，$21$. \end{enumerate} \end{solution}