不等式 $\frac{x}{2x - 1} < 0$ 的解为______.

\begin{answer} $0 < x < \frac{1}{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 分式有意义要求 $x\ne\frac{1}{2}$. 分式小于零，说明分子与分母异号，即 $x>0$ 且 $2x-1<0$，或 $x<0$ 且 $2x-1>0$. 后一种情形无解，前一种情形给出 $0<x<\frac{1}{2}$. 所以不等式的解集为 $0<x<\frac{1}{2}$. \end{solution}

设常数 $a > 0$. 若 $9x + \frac{a^2}{x} \geqslant a + 1$ 对一切正实数 $x$ 成立，则 $a$ 的取值范围为______.

\begin{answer} $a \geqslant \frac{1}{5}$ \end{answer}

\begin{solution} 因为 $a>0$、$x>0$，由基本不等式 当 $9x=\frac{a^2}{x}$，即 $x=\frac{a}{3}>0$ 时等号成立，所以左端的最小值为 $6a$. 题设不等式对一切正实数 $x$ 成立，当且仅当 $6a\geqslant a+1$，即 $a\geqslant\frac15$. \end{solution}

设常数 $a \in \mathbf{R}$，集合 $A = \{x \mid \left(x - 1\right)\left(x - a\right) \geqslant 0\}$，$B = \{x \mid x \geqslant a - 1\}$. 若 $A \cup B = \mathbf{R}$，则 $a$ 的取值范围为（$\quad$）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 若 $a\leqslant1$，则 由于 $a-1\leqslant a$，此时 $A\cup B=\mathbf{R}$.

若 $a>1$，则 要覆盖区间 $(1,a)$，必须且只需 $a-1\leqslant1$，即 $a\leqslant2$. 综合两种情形，$a\leqslant2$，故选 B. \end{solution}