在等差数列 $\{a_n\}$ 中，若 $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 30$，则 $a_2 + a_3 =\underline{\hspace{2em}}$.

\begin{answer} $15$ \end{answer}

\begin{solution} 等差数列中，首末两项之和等于中间两项之和，因此 $a_1+a_4=a_2+a_3$. 由题设 所以 $a_2+a_3=15$. \end{solution}

已知函数 $f(x) = 2 - |x|$，无穷数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1} = f(a_n)$，$n \in \mathbf{N}^*$.

(1) 若 $a_1 = 0$，求 $a_2$，$a_3$，$a_4$； (2) 若 $a_1 > 0$，且 $a_1$，$a_2$，$a_3$ 成等比数列，求 $a_1$ 的值； (3) 是否存在 $a_1$，使得 $a_1$，$a_2$，$a_3$，$\cdots$，$a_n$，$\cdots$ 成等差数列？若存在，求出所有这样的 $a_1$；若不存在，说明理由.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 $a_1=0$ 时，$a_2=2-|0|=2$，$a_3=2-|2|=0$，$a_4=2-|0|=2$. \item 设 $a_1=t>0$.

当 $0<t\leqslant2$ 时，$a_2=2-t\geqslant0$，从而 $a_3=2-(2-t)=t$. 由 $a_1$，$a_2$，$a_3$ 成等比数列，得 $(2-t)^2=t^2$， 所以 $4-4t=0$，即 $t=1$.

当 $t>2$ 时，$a_2=2-t<0$，从而 $a_3=2-|2-t|=4-t$. 于是 $(2-t)^2=t(4-t)$， 即 $2t^2-8t+4=0$，解得 $t=2\pm\sqrt{2}$. 结合 $t>2$，得 $t=2+\sqrt{2}$. 因此 $a_1=1$ 或 $a_1=2+\sqrt{2}$. \item 假设数列成等差数列，公差为 $d$，则 $a_n=a_1+(n-1)d$. 由于对任意 $n$ 都有 $a_{n+1}=2-|a_n|\leqslant2$，若 $d>0$，则等差表达式使 $a_{n+1}$ 在 $n$ 足够大时大于 $2$，矛盾. 若 $d<0$，则 $a_n$ 在 $n$ 足够大时为负数，此时递推式变为 $a_{n+1}=2+a_n$，所以 $d=2$，又与 $d<0$ 矛盾. 因此只能有 $d=0$.

此时所有 $a_n$ 都等于 $a_1$，由递推式得 $a_1=2-|a_1|$. 当 $a_1\geqslant0$ 时，$a_1=2-a_1$，得 $a_1=1$；当 $a_1<0$ 时，$a_1=2+a_1$，矛盾. 因此存在且唯一的取值为 $a_1=1$. \end{enumerate} \end{solution}