已知圆柱 $\Omega$ 的母线长为 $l$，底面半径为 $r$，$O$ 是上底面圆心，$A$，$B$ 是下底面圆周上两个不同的点，$BC$ 是母线，如图. 若直线 $OA$ 与 $BC$ 所成角的大小为 $\frac{\pi}{6}$，则 $\frac{l}{r} =\underline{\hspace{2em}}$.

\begin{answer} $\sqrt{3}$ \end{answer}

\begin{solution} 过下底面点 $A$ 作母线 $AD$，交上底面于 $D$，则 $AD\parallel BC$，且 $OD\perp AD$、$OD=r$、$AD=l$. 因此 $\angle OAD$ 就是直线 $OA$ 与 $BC$ 所成的角，大小为 $\frac{\pi}{6}$. 在直角三角形 $ODA$ 中， 所以 $\frac{r}{l}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，即 $\frac{l}{r}=\sqrt{3}$. \end{solution}

如图，正三棱锥 $O - ABC$ 底面边长为 $2$，高为 $1$，求该三棱锥的体积及表面积.

\begin{solution} 正三角形 $ABC$ 的高为 $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，所以底面积为 $\frac{1}{2}\times2\times\sqrt{3}=\sqrt{3}$. 因此三棱锥的体积为 设 $H$ 是正三角形 $ABC$ 的中心，$D$ 是 $AB$ 的中点. 则 $HD$ 是正三角形的内切半径，$HD=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且正三棱锥的高 $OH=1$，所以侧面三角形 $OAB$ 的高为 每个侧面三角形的面积为 $\frac{1}{2}\times2\times\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，三个侧面的总面积为 $2\sqrt{3}$. 故三棱锥的表面积为 \end{solution}