已知 $\triangle ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别是 $a$，$b$，$c$. 若 $a^2 + ab + b^2 - c^2 = 0$，则角 $C$ 的大小是______.

\begin{answer} $\frac{2\pi}{3}$ \end{answer}

\begin{solution} 由余弦定理， 题设 $a^2+ab+b^2-c^2=0$，所以 $c^2=a^2+ab+b^2$. 比较两式并利用 $a$，$b>0$，得 $-2ab\cos C=ab$，$\cos C=-\frac{1}{2}$. 因为 $C$ 是三角形内角，故 $C=\frac{2\pi}{3}$. \end{solution}

若 $\cos x\cos y+\sin x\sin y=\frac{1}{3}$，则 $\cos\left(2x-2y\right)=$______.

\begin{answer} $-\frac{7}{9}$ \end{answer}

\begin{solution} 由两角差的余弦公式， 因此 \end{solution}

已知函数 $f(x) = 2\sin \omega x$. 其中常数 $\omega > 0$.

(1) 令 $\omega = 1$，判断函数 $F(x) = f(x) + f\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ 的奇偶性并说明理由； (2) 令 $\omega = 2$，将函数 $y = f(x)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位，再向上平移 $1$ 个单位，得到函数 $y = g(x)$ 的图象. 对任意的 $a \in \mathbf{R}$，求 $y = g(x)$ 在区间 $[a, a + 10\pi]$ 上零点个数的所有可能值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 当 $\omega=1$ 时，$f(x)=2\sin x$，所以 于是 $F(-x)=2\cos x-2\sin x$. 又 $F(0)=2\neq-2=-F(0)$，故 $F(x)$ 不是奇函数；并且 $F\left(\frac{\pi}{2}\right)=2$，$F\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-2$，故 $F(x)$ 不是偶函数. 因此 $F(x)$ 既不是奇函数，也不是偶函数. \item 当 $\omega=2$ 时，$f(x)=2\sin2x$. 图象向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 后，横坐标 $x$ 处的函数值为 $f\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$，再向上平移 $1$ 个单位，故 令 $g(x)=0$，得 因此 $2x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\quad\text{或}\quad2x+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{6}+2k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$ 即零点为 $x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\quad\text{或}\quad x=\frac{5\pi}{12}+k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$. 函数 $g(x)$ 的周期为 $\pi$，每个周期内有两个零点. 区间 $[a,a+10\pi]$ 的长度是 $10$ 个周期，因此当 $a$ 不是零点时，区间内有 $20$ 个零点；当 $a$ 是零点时，$a+10\pi$ 也是零点，两个端点同时计入，区间内有 $21$ 个零点. 故所有可能值为 $20$，$21$. \end{enumerate} \end{solution}