已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$. 记以 $A$ 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 $\boldsymbol{a}_1$，$\boldsymbol{a}_2$，$\boldsymbol{a}_3$；以 $C$ 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 $\boldsymbol{c}_1$，$\boldsymbol{c}_2$，$\boldsymbol{c}_3$. 若 $i$，$j$，$k$，$l \in \{1, 2, 3\}$ 且 $i \neq j$，$k \neq l$，则 $\left(\boldsymbol{a}_i + \boldsymbol{a}_j\right) \cdot \left(\boldsymbol{c}_k + \boldsymbol{c}_l\right)$ 的最小值是______.

\begin{answer} $-5$ \end{answer}

\begin{solution} 不妨按 $B$，$C$，$D$ 的顺序编号从 $A$ 引出的三个向量，按 $A$，$B$，$D$ 的顺序编号从 $C$ 引出的三个向量. 建立坐标系 $A=(0,0)$，$B=(1,0)$，$C=(1,1)$，$D=(0,1)$. 于是 $\boldsymbol{a}_1=(1,0)$，$\boldsymbol{a}_2=(1,1)$，$\boldsymbol{a}_3=(0,1)$ 以及 $\boldsymbol{c}_1=(-1,-1)$，$\boldsymbol{c}_2=(0,-1)$，$\boldsymbol{c}_3=(-1,0)$. 任取两个不同下标时，两个向量和分别可能为 当第一向量和依次取 $(2,1)$、$(1,1)$、$(1,2)$ 时，与上述三个第二向量和的数量积依次为 $(-4,-5,-3)$、$(-3,-3,-2)$、$(-5,-4,-3)$. 因而所有可能值的最小值为 $-5$. \end{solution}