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02
函数与初等函数
★★☆☆☆
下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A.
y
=
x
+
1
y = x + 1
y
=
x
+
1
B.
y
=
−
x
3
y = -x^3
y
=
−
x
3
C.
y
=
1
x
y = \frac{1}{x}
y
=
x
1
D.
y
=
x
∣
x
∣
y = x|x|
y
=
x
∣
x
∣
2012 · 陕西 · 文 · 第 2 题 · 选择题
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11
函数与初等函数
★☆☆☆☆
设函数
f
(
x
)
=
{
x
,
x
⩾
0
,
(
1
2
)
x
,
x
<
0.
f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & x \geqslant 0,\\ \left(\frac{1}{2}\right)^x, & x < 0. \end{cases}
f
(
x
)
=
{
x
,
(
2
1
)
x
,
x
⩾
0
,
x
<
0.
则
f
(
f
(
−
4
)
)
=
f\left(f(-4)\right) =
f
(
f
(
−
4
)
)
=
______.
2012 · 陕西 · 文 · 第 11 题 · 填空题
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21
函数与初等函数
★★★★★
设函数
f
n
(
x
)
=
x
n
+
b
x
+
c
f_n(x) = x^n + bx + c
f
n
(
x
)
=
x
n
+
b
x
+
c
（
n
∈
N
+
n \in \mathbf{N}_+
n
∈
N
+
，
b
b
b
，
c
∈
R
c \in \mathbf{R}
c
∈
R
）.
(1) 设
n
⩾
2
n \geqslant 2
n
⩾
2
，
b
=
1
b = 1
b
=
1
，
c
=
−
1
c = -1
c
=
−
1
，证明：
f
n
(
x
)
f_n(x)
f
n
(
x
)
在区间
(
1
2
,
1
)
\left(\frac{1}{2}, 1\right)
(
2
1
,
1
)
内存在唯一零点； (2) 设
n
n
n
为偶数，
∣
f
n
(
−
1
)
∣
⩽
1
|f_n(-1)| \leqslant 1
∣
f
n
(
−
1
)
∣
⩽
1
，
∣
f
n
(
1
)
∣
⩽
1
|f_n(1)| \leqslant 1
∣
f
n
(
1
)
∣
⩽
1
，求
b
+
3
c
b + 3c
b
+
3
c
的最小值和最大值； (3) 设
n
=
2
n = 2
n
=
2
，若对任意
x
1
x_1
x
1
，
x
2
∈
[
−
1
,
1
]
x_2 \in [-1, 1]
x
2
∈
[
−
1
,
1
]
，有
∣
f
2
(
x
1
)
−
f
2
(
x
2
)
∣
⩽
4
|f_2(x_1) - f_2(x_2)| \leqslant 4
∣
f
2
(
x
1
)
−
f
2
(
x
2
)
∣
⩽
4
，求
b
b
b
的取值范围.
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