设函数 $f(x) = -x(x - a)^2$（$x \in \mathbf{R}$），其中 $a \in \mathbf{R}$.

(1) 当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f(x)$ 在点 $(2, f(2))$ 处的切线方程. (2) 当 $a \neq 0$ 时，求函数 $f(x)$ 的极大值和极小值. (3) 当 $a > 3$ 时，证明存在 $k \in [-1,0]$，使得不等式 $f(k - \cos x) \geqslant f(k^2 - \cos^2 x)$ 对任意的 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立.