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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 S={x∈R∣x+1⩾2}S = \{x \in \mathbf{R} \mid x + 1 \geqslant 2\}，T={−2,−1,0,1,2}T = \{-2, -1, 0, 1, 2\}，则 S∩T=S \cap T =（ ）
A.
{2}\{2\}
B.
{1,2}\{1, 2\}
C.
{0,1,2}\{0, 1, 2\}
D.
{−1,0,1,2}\{-1, 0, 1, 2\}

2007 · 天津 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02不等式★★☆☆☆
设变量 xx，yy 满足约束条件
{x−y⩾−1,x+y⩽4,y⩾2\begin{cases} x-y\geqslant-1,\\ x+y\leqslant4,\\ y\geqslant2 \end{cases}
，则目标函数 z=2x+4yz = 2x + 4y 的最大值为（ ）
A.
1010
B.
1212
C.
1313
D.
1414

2007 · 天津 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★★☆☆☆
“ a=2a = 2 ”是“直线 ax+2y=0ax + 2y = 0 平行于直线 x+y=1x + y = 1 ”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2007 · 天津 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04指数函数与对数函数★☆☆☆☆
设 a=log⁡123a = \log_{\frac12} 3，b=(13)0.2b = \left(\frac{1}{3}\right)^{0.2}，c=213c = 2^{\frac{1}{3}}，则（ ）
A.
a<b<ca < b < c
B.
c<b<ac < b < a
C.
c<a<bc < a < b
D.
b<a<cb < a < c

2007 · 天津 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05指数函数与对数函数★☆☆☆☆
函数 y=log⁡2(x+4)y = \log_2(x + 4)（x>0x > 0）的反函数是（ ）
A.
y=2x+4y = 2^{x} + 4（x>2x > 2）
B.
y=2x+4y = 2^{x} + 4（x>0x > 0）
C.
y=2x−4y = 2^{x} - 4（x>2x > 2）
D.
y=2x−4y = 2^{x} - 4（x>0x > 0）

2007 · 天津 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★★☆☆
设 aa，bb 为两条直线，α\alpha，β\beta 为两个平面. 下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A.
若 aa，bb 与 α\alpha 所成的角相等，则 a∥ba \parallel b
B.
若 a∥αa \parallel \alpha，b∥βb \parallel \beta，α∥β\alpha \parallel \beta，则 a∥ba \parallel b
C.
若 a⊂αa \subset \alpha，b⊂βb \subset \beta，a∥ba \parallel b，则 α∥β\alpha \parallel \beta
D.
若 a⊥αa \perp \alpha，b⊥βb \perp \beta，α⊥β\alpha \perp \beta，则 a⊥ba \perp b

2007 · 天津 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★☆☆☆
设双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的离心率为 3\sqrt{3}，且它的一条准线与抛物线 y2=4xy^2 = 4x 的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）
A.
x212−y224=1\frac{x^2}{12} - \frac{y^2}{24} = 1
B.
x248−y296=1\frac{x^2}{48} - \frac{y^2}{96} = 1
C.
x23−2y23=1\frac{x^2}{3} - \frac{2y^2}{3} = 1
D.
x23−y26=1\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{6} = 1

2007 · 天津 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08数列★★★☆☆
设等差数列 {an}\{a_{n}\} 的公差 dd 不为 00，a1=9da_{1} = 9d. 若 aka_{k} 是 a1a_{1} 与 a2ka_{2k} 的等比中项，则 k=k =（ ）
A.
22
B.
44
C.
66
D.
88

2007 · 天津 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09三角函数★★★☆☆
设函数 f(x)=∣sin⁡(x+π3)∣f(x) = \left|\sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right|（x∈Rx \in \mathbf{R}），则 f(x)f(x)（ ）
A.
在区间 [2π3,7π6]\left[\frac{2\pi}{3}, \frac{7\pi}{6}\right] 上是增函数
B.
在区间 [−π,−π2]\left[-\pi, -\frac{\pi}{2}\right] 上是减函数
C.
在区间 [π8,π4]\left[\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{4}\right] 上是增函数
D.
在区间 [π3,5π6]\left[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}\right] 上是减函数

2007 · 天津 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
设 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数，且当 x⩾0x \geqslant 0 时，f(x)=x2f(x) = x^2. 若对任意的 x∈[t,t+2]x \in [t, t + 2]，不等式 f(x+t)⩾2f(x)f(x + t) \geqslant 2f(x) 恒成立，则实数 tt 的取值范围是（ ）
A.
[2,+∞)[\sqrt{2}, +\infty)
B.
[2,+∞)[2, +\infty)
C.
(0,2]\left(0,2\right]
D.
[−2,−1]∪[2,3]\left[-\sqrt{2}, -1\right] \cup \left[\sqrt{2}, \sqrt{3}\right]

2007 · 天津 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11概率与统计★☆☆☆☆
从一堆苹果中任取了 2020 只，并得到它们的质量（单位：克）数据分布表如下：
则这堆苹果中，质量不小于 120 克120\text{ 克} 的苹果数约占苹果总数的______%.

2007 · 天津 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12计数原理与组合数学★★☆☆☆
(x+1x2)9\left(x + \frac{1}{x^2}\right)^9 的二项展开式中常数项是______. （用数字作答）

2007 · 天津 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13立体几何初步★★☆☆☆
一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 11，22，33，则此球的表面积为______.

2007 · 天津 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14解析几何★★☆☆☆
已知两圆 x2+y2=10x^{2} + y^{2} = 10 和 (x−1)2+(y−3)2=20(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 20 相交于 AA，BB 两点，则直线 ABAB 的方程是______.

2007 · 天津 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15平面向量★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AB=2AB = 2，AC=3AC = 3，DD 是边 BCBC 的中点，则 AD→⋅BC→=‾\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} =\underline{\hspace{2em}}.

2007 · 天津 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★☆☆
如图，用 66 种不同的颜色给图中的 44 个格子涂色，每个格子涂一种颜色. 要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子颜色也不同. 则不同的涂色方法共有______ 种. （用数字作答）

2007 · 天津 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 AC=2AC = 2，BC=3BC = 3，cos⁡A=−45\cos A = -\frac{4}{5}.
(1) 求 sin⁡B\sin B 的值. (2) 求 sin⁡(2B+π6)\sin\left(2B+\frac{\pi}{6}\right) 的值.

2007 · 天津 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
已知甲盒内有大小相同的 33 个红球和 44 个黑球，乙盒内有大小相同的 55 个红球和 44 个黑球. 现从甲，乙两个盒内各任取 22 个球.
(1) 求取出的 44 个球均为红球的概率. (2) 求取出的 44 个球中恰有 11 个红球的概率.

2007 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA⊥PA \perp 底面 ABCDABCD，AB⊥ADAB \perp AD，AC⊥CDAC \perp CD，∠ABC=60∘\angle ABC = 60^{\circ}，PA=AB=BCPA = AB = BC，EE 是 PCPC 的中点.
(1) 求 PBPB 和平面 PADPAD 所成的角的大小. (2) 证明 AE⊥AE \perp 平面 PCDPCD. (3) 求二面角 A−PD−CA - PD - C 的大小.

2007 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★☆☆
在数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1=2a_{1} = 2，an+1=4an−3n+1a_{n + 1} = 4a_{n} - 3n + 1，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 证明数列 {an−n}\{a_{n}-n\} 是等比数列. (2) 求数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 SnS_n. (3) 证明不等式 Sn+1⩽4SnS_{n+1} \leqslant 4S_n 对任意 n∈N∗n \in \mathbf{N}^* 皆成立.

2007 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=−x(x−a)2f(x) = -x(x - a)^2（x∈Rx \in \mathbf{R}），其中 a∈Ra \in \mathbf{R}.
(1) 当 a=1a = 1 时，求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (2,f(2))(2, f(2)) 处的切线方程. (2) 当 a≠0a \neq 0 时，求函数 f(x)f(x) 的极大值和极小值. (3) 当 a>3a > 3 时，证明存在 k∈[−1,0]k \in [-1,0]，使得不等式 f(k−cos⁡x)⩾f(k2−cos⁡2x)f(k - \cos x) \geqslant f(k^2 - \cos^2 x) 对任意的 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立.

2007 · 天津 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，AA 是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2AF_2 \perp F_1F_2. 原点 OO 到直线 AF1AF_1 的距离为 13∣OF1∣\frac{1}{3}|OF_1|.
(1) 证明 a=2ba = \sqrt{2} b. (2) 求 t∈(0,b)t \in (0, b) 使得下述命题成立：设圆 x2+y2=t2x^{2} + y^{2} = t^{2} 上任意点 M(x0,y0)M(x_{0}, y_{0}) 处的切线交椭圆于 Q1Q_{1}，Q2Q_{2} 两点，则 OQ1⊥OQ2OQ_{1} \perp OQ_{2}.

2007 · 天津 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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