设 $f(x) = a(x - 5)^2 + 6\ln x$，其中 $a \in \mathbf{R}$，曲线 $y = f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线与 $y$ 轴相交于点 $(0, 6)$.

(1) 确定 $a$ 的值； (2) 求函数 $f(x)$ 的单调区间与极值.

\begin{solution} 函数的定义域为 $x>0$，且 $f(1)=16a$，$f'(x)=2a(x-5)+\frac{6}{x}$，$f'(1)=6-8a$. 曲线在 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $y=f(1)+f'(1)(x-1)$，所以它在 $y$ 轴上的截距为 $f(1)-f'(1)$. 由题意， 解得 $a=\frac{1}{2}$. 此时 因为 $x>0$，所以当 $0<x<2$ 或 $x>3$ 时 $f'(x)>0$，当 $2<x<3$ 时 $f'(x)<0$. 因此，$f(x)$ 在 $(0,2)$ 和 $(3,+\infty)$ 上单调递增，在 $(2,3)$ 上单调递减. 又 $f(2)=\frac{9}{2}+6\ln 2$，$f(3)=2+6\ln 3$. 所以 $x=2$ 时取得极大值 $\frac{9}{2}+6\ln 2$，$x=3$ 时取得极小值 $2+6\ln 3$. \end{solution}