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01函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=log⁡2x−2y = \sqrt{\log_{2} x - 2} 的定义域是（ ）
A.
(3,+∞)(3, +\infty)
B.
[3,+∞)[3, +\infty)
C.
(4,+∞)(4, +\infty)
D.
[4,+∞)[4, +\infty)

2006 · 湖南 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02数列★★☆☆☆
若数列 {an}\{a_n\} 满足：a1=13a_{1} = \frac{1}{3}，且对任意正整数 mm，nn 都有 am+n=am⋅ana_{m+n} = a_m \cdot a_n，则 lim⁡n→+∞(a1+a2+⋯+an)=\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (a_1 + a_2 + \cdots + a_n) =（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
23\frac{2}{3}
C.
32\frac{3}{2}
D.
22

2006 · 湖南 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03立体几何初步★★★☆☆
过平行六面体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 任意两条棱的中点作直线，其中与平面 DBB1D1DBB_{1}D_{1} 平行的直线共有（ ）
A.
44 条
B.
66 条
C.
88 条
D.
1212 条

2006 · 湖南 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04集合与逻辑基础★★☆☆☆
“a=1a=1”是“函数 f(x)=∣x−a∣f(x) = |x - a| 在区间 [1,+∞)[1, +\infty) 上为增函数”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2006 · 湖南 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05平面向量★★★☆☆
已知 ∣a∣=2∣b∣≠0\left|\boldsymbol{a}\right| = 2\left|\boldsymbol{b}\right| \neq 0，且关于 xx 的方程 x2+∣a∣x+a⋅b=0x^{2} + \left|\boldsymbol{a}\right|x + \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = 0 有实根，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角的取值范围是（ ）
A.
[0,π6]\left[0, \frac{\pi}{6}\right]
B.
[π3,π]\left[\frac{\pi}{3}, \pi\right]
C.
[π3,2π3]\left[\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right]
D.
[π6,π]\left[\frac{\pi}{6}, \pi\right]

2006 · 湖南 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06计数原理与组合数学★★☆☆☆
某外商计划在 44 个候选城市投资 33 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过 22 个，则该外商不同的投资方案有（ ）
A.
1616 种
B.
3636 种
C.
4242 种
D.
6060 种

2006 · 湖南 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★★☆☆
过双曲线 M:x2−y2b2=1M: x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 的左顶点 AA 作斜率为 11 的直线 ll，若 ll 与双曲线 MM 的两条渐近线分别相交于点 BB，CC，且 ∣AB∣=∣BC∣|AB| = |BC|，则双曲线 MM 的离心率是（ ）
A.
10\sqrt{10}
B.
5\sqrt{5}
C.
103\frac{\sqrt{10}}{3}
D.
52\frac{\sqrt{5}}{2}

2006 · 湖南 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08不等式★★★☆☆
设函数 f(x)=x−ax−1f(x) = \frac{x - a}{x - 1}，集合 M={x∣f(x)<0}M = \{x \mid f(x) < 0\}，P={x∣f′(x)>0}P = \{x \mid f'(x) > 0\}，若 M⫋PM \subsetneqq P，则实数 aa 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,1)(- \infty, 1)
B.
(0,1)(0,1)
C.
(1,+∞)(1, +\infty)
D.
[1,+∞)[1, +\infty)

2006 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
棱长为 22 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ）
A.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
B.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
C.
2\sqrt{2}
D.
3\sqrt{3}

2006 · 湖南 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★★★☆
若圆 x2+y2−4x−4y−10=0x^{2} + y^{2} - 4x - 4y - 10 = 0 上至少有三个不同的点到直线 l:ax+by=0l: ax + by = 0 的距离为 222\sqrt{2}，则直线 ll 的倾斜角的取值范围是（ ）
A.
[π12,π4]\left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}\right]
B.
[π12,5π12]\left[\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}\right]
C.
[π6,π3]\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]
D.
[0,π2]\left[0, \frac{\pi}{2}\right]

2006 · 湖南 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★☆☆☆
若 (ax−1)5(ax - 1)^5 的展开式中 x3x^3 的系数是 −80-80，则实数 aa 的值是______.

2006 · 湖南 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12不等式★★★☆☆
已知
{x⩾1,x−y+1⩽0,2x−y−2⩽0\begin{cases} x \geqslant 1,\\ x - y + 1 \leqslant 0,\\ 2x - y - 2 \leqslant 0 \end{cases}
，则 x2+y2x^2 + y^2 的最小值是______.

2006 · 湖南 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13导数及其应用★★☆☆☆
曲线 y=1xy = \frac{1}{x} 和 y=x2y = x^2 在它们交点处的两条切线与 xx 轴所围成的三角形的面积是______.

2006 · 湖南 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14三角函数★★☆☆☆
若 f(x)=asin⁡(x+π4)+bsin⁡(x−π4)f(x) = a \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) + b \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right)（ab≠0ab \neq 0）是偶函数，则有序实数对 (a,b)(a, b) 可以是______. （写出你认为正确的一组数字即可）

2006 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
如图，OM∥ABOM \parallel AB，点 PP 在由射线 OMOM，线段 OBOB 及 ABAB 的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且 OP→=xOA→+yOB→\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}，则 xx 的取值范围是______；当 x=−12x = -\frac{1}{2} 时，yy 的取值范围是______.

2006 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
如图，DD 是直角 △ABC\triangle ABC 斜边 BCBC 上一点，AB=ADAB = AD，记 ∠CAD=α\angle CAD = \alpha，∠ABC=β\angle ABC = \beta.
(1) 证明：sin⁡α+cos⁡2β=0\sin \alpha + \cos 2\beta = 0； (2) 若 AC=3DCAC = \sqrt{3}DC，求 β\beta 的值.

2006 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某安全生产监督部门对 55 家小型煤矿进行安全检查（简称安检）. 若安检不合格，则必须整改. 若整改后经复查仍不合格，则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是 0.50.5，整改后安检合格的概率是 0.80.8，计算（结果精确到 0.010.01）：
(1) 恰好有两家煤矿必须整改的概率； (2) 平均有多少家煤矿必须整改； (3) 至少关闭一家煤矿的概率.

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，已知两个正四棱锥 P−ABCDP - ABCD 与 Q−ABCDQ - ABCD 的高分别为 11 和 22，AB=4AB = 4.
(1) 证明：PQ⊥PQ \perp 平面 ABCDABCD； (2) 求异面直线 AQAQ 与 PBPB 所成的角； (3) 求点 PP 到平面 QADQAD 的距离.

2006 · 湖南 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x−sin⁡xf(x) = x - \sin x，数列 {an}\{a_n\} 满足：0<a1<10 < a_1 < 1，an+1=f(an)a_{n+1} = f(a_n)，n=1n = 1，22，33，⋯\cdots. 证明：
(1) 0<an+1<an<10 < a_{n+1} < a_n < 1； (2) an+1<16an3a_{n+1} < \frac{1}{6} a_n^3.

2006 · 湖南 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
对 11 个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：1−污物质量物体质量（含污物）1 - \frac{\text{污物质量}}{\text{物体质量（含污物）}}）为 0.80.8，要求洗完后的清洁度是 0.990.99. 有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为 aa（1⩽a⩽31 \leqslant a \leqslant 3）. 设用 xx 单位质量的水初次清洗后的清洁度是 x+0.8x+1\frac{x + 0.8}{x + 1}（x>a−1x > a - 1），用 yy 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是 y+acy+a\frac{y + ac}{y + a}，其中 cc（0.8<c<0.990.8 < c < 0.99）是该物体初次清洗后的清洁度.
(1) 分别求出方案甲以及 c=0.95c = 0.95 时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少； (2) 若采用方案乙，当 aa 为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论 aa 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

2006 · 湖南 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知椭圆 C1:x24+y23=1C_{1}: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1，抛物线 C2:(y−m)2=2pxC_{2}: (y - m)^2 = 2px（p>0p > 0），且 C1C_{1}，C2C_{2} 的公共弦 ABAB 过椭圆 C1C_{1} 的右焦点.
(1) 当 AB⊥xAB \perp x 轴时，求 mm，pp 的值，并判断抛物线 C2C_{2} 的焦点是否在直线 ABAB 上； (2) 是否存在 mm，pp 的值，使抛物线 C2C_{2} 的焦点恰在直线 ABAB 上？若存在，求出符合条件的 mm，pp 的值；若不存在，请说明理由.

2006 · 湖南 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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