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15
数列
★★☆☆☆
设函数
f
(
x
)
=
x
x
+
2
f(x) = \frac{x}{x + 2}
f
(
x
)
=
x
+
2
x
（
x
>
0
x > 0
x
>
0
），观察：
f
1
(
x
)
=
f
(
x
)
=
x
x
+
2
f_{1}(x) = f(x) = \frac{x}{x + 2}
f
1
(
x
)
=
f
(
x
)
=
x
+
2
x
，
f
2
(
x
)
=
f
(
f
1
(
x
)
)
=
x
3
x
+
4
f_{2}(x) = f\!\left(f_{1}(x)\right) = \frac{x}{3x + 4}
f
2
(
x
)
=
f
(
f
1
(
x
)
)
=
3
x
+
4
x
，
f
3
(
x
)
=
f
(
f
2
(
x
)
)
=
x
7
x
+
8
f_{3}(x) = f\!\left(f_{2}(x)\right) = \frac{x}{7x + 8}
f
3
(
x
)
=
f
(
f
2
(
x
)
)
=
7
x
+
8
x
，
f
4
(
x
)
=
f
(
f
3
(
x
)
)
=
x
15
x
+
16
f_{4}(x) = f\!\left(f_{3}(x)\right) = \frac{x}{15x + 16}
f
4
(
x
)
=
f
(
f
3
(
x
)
)
=
15
x
+
16
x
. 根据以上事实，由归纳推理可得：当
n
∈
N
∗
n \in \mathbf{N}^{*}
n
∈
N
∗
且
n
⩾
2
n \geqslant 2
n
⩾
2
时，
f
n
(
x
)
=
f
(
f
n
−
1
(
x
)
)
=
f_n(x) = f(f_{n-1}(x)) =
f
n
(
x
)
=
f
(
f
n
−
1
(
x
))
=
______.
2011 · 山东 · 理 · 第 15 题 · 填空题
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20
数列
★★★☆☆
等比数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
中，
a
1
a_{1}
a
1
，
a
2
a_{2}
a
2
，
a
3
a_{3}
a
3
分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且
a
1
a_{1}
a
1
，
a
2
a_{2}
a
2
，
a
3
a_{3}
a
3
中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
(1) 求数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
的通项公式； (2) 若数列
{
b
n
}
\{b_{n}\}
{
b
n
}
满足：
b
n
=
a
n
+
(
−
1
)
n
ln
a
n
b_{n} = a_{n} + (-1)^{n} \ln a_{n}
b
n
=
a
n
+
(
−
1
)
n
ln
a
n
，求数列
{
b
n
}
\{b_{n}\}
{
b
n
}
的前
n
n
n
项和
S
n
S_{n}
S
n
.
2011 · 山东 · 理 · 第 20 题 · 解答题
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