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05函数与初等函数★★☆☆☆
下列函数 f(x)f(x) 是奇函数且在定义域上单调递增的是（ ）
A.
f(x)=1x2+1f(x)=\frac{1}{x^2+1}
B.
f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x
C.
f(x)=2−x−2xf(x)=2^{-x}-2^x
D.
f(x)=ln⁡5+x5−xf(x)=\ln \frac{5+x}{5-x}

2026 · 北京 · 第 5 题 · 选择题

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15函数与初等函数★★★★★
已知 f(x)=∣x2−cos⁡x−c2∣f(x)=\left| x^2-\cos x-c^2 \right|，给出下列四个结论：
① f(x)f(x) 在 (−1,1]\left( -1,1 \right] 上有最小值和最大值 ② c=0c=0，f(x)=1f(x)=1 有 3 个解 ③ c=1c=1，x∈(−1,2]x\in \left( -1,2 \right] 时，f(x)f(x) 有最大值 ④ c>0c>0，f(x)f(x) 与 y=cy=c 有 4 个交点
其中正确结论的序号是 ‾\underline{\hspace{2em}}.

2026 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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19解析几何★★★★★
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的一个顶点是 (2,0)\left( 2,0 \right)，离心率为 12\frac{1}{2}.
(1) 求 EE 的方程； (2) 过点 A(1,1)A\left( 1,1 \right)，斜率为 kk（k≠±1k\neq \pm 1）的直线交椭圆 EE 于 BB，CC 两点，BB 关于 y=xy=x 的对称点为 DD，DCDC 交 y=xy=x 于 QQ，若 ∣S△ABQ−S△ACQ∣=58\left| S_{\triangle ABQ}-S_{\triangle ACQ} \right|=\frac{5}{8}，求 kk.

2026 · 北京 · 第 19 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
设 A=(aij)m×nA=\left( a_{ij} \right)_{m\times n} 是一个 mm 行 nn 列的数阵，且数阵中的每一项 aij∈{−1,1}a_{ij}\in \left\{ -1,1 \right\}，都等于 1 或 −1-1. 若对任意 1≤i1\le i， p≤m\ p\le m，1≤j1\le j， q≤n\ q\le n，其中 i≠pi\neq p，j≠qj\neq q，且 ∣∣i−p∣−∣j−q∣∣=2\left| \left| i-p \right|-\left| j-q \right| \right|=2，都有 aij+aiq+apj+apq=0a_{ij}+a_{iq}+a_{pj}+a_{pq}=0，则称数阵 AA 具有性质 PP.
(1) 判断下列两个数表是否具有性质 PP：
| A1=A_1= \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
11−1-11
(2) 在所有具有性质 PP 的 5×45\times 4 数阵中，1 的个数最多是多少？ (3) 若 m=n=6m=n=6，a11=1a_{11}=1，且数阵 AA 具有性质 PP，证明：对任意 ii，j∈{1,2,3,4,5,6}j\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}，都有 aij=ai1a1ja_{ij}=a_{i1}a_{1j}.

2026 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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