已知空间三个点 $P(-2,0,2)$，$Q(-1,1,2)$ 和 $R(-3,0,4)$. 设 $\boldsymbol{a} = \overrightarrow{PQ}$，$\boldsymbol{b} = \overrightarrow{PR}$.

(1) 求 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角 $\theta$（用反三角函数表示）； (2) 试确定实数 $k$，使 $k \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$ 与 $k \boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}$ 互相垂直.

设 $P(1, t)$ 是直角坐标系内的点（$t > 0$）. 将向量 $\overrightarrow{OP}$ 绕原点 $O$ 按逆时针方向旋转 $\frac{\pi}{2}$，再把它的模变为原来的两倍，得到向量 $\overrightarrow{OQ}$，以 $OP$，$OQ$ 为邻边作矩形 $OPRQ$.

(1) 求点 $Q$，$R$ 的坐标； (2) 求矩形 $OPRQ$ 在第一象限部分的面积 $S(t)$； (3) 确定函数 $S(t)$ 的单调区间，并加以证明.