要在边长为 $16\text{ 米}$ 的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水. 假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为 $6\text{ 米}$ 的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 正方形任意两个不同顶点的距离至少为 $16\text{ 米}$，而一个喷水龙头的喷洒直径为 $12\text{ 米}$，所以一个喷水龙头不可能同时覆盖两个顶点；要覆盖正方形的四个顶点，至少需要 $4$ 个喷水龙头.

把正方形分成 $4$ 个边长为 $8\text{ 米}$ 的小正方形，在每个小正方形的中心安装一个喷水龙头. 小正方形中任一点到其中心的距离不超过 $4\sqrt{2}<6\text{ 米}$，因此这 $4$ 个喷水龙头可以覆盖整个草坪. 故最少安装 $4$ 个，选 B. \end{solution}

若 $P$ 是两条异面直线 $l$，$m$ 外的任意一点，则（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 设两条异面直线 $l$，$m$ 的方向向量分别为 $\boldsymbol{u}$，$\boldsymbol{v}$. 由于 $l$，$m$ 不平行，$\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}\ne\boldsymbol{0}$. 过点 $P$ 且方向为 $\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}$ 的直线，方向同时垂直于 $\boldsymbol{u}$ 和 $\boldsymbol{v}$，因而与 $l$，$m$ 都垂直；其方向被唯一确定，所以这样的直线有且仅有一条. 因此选 B. \end{solution}

已知点 $O$ 在二面角 $\alpha-AB-\beta$ 的棱上，点 $P$ 在 $\alpha$ 内，且 $\angle POB = 45^{\circ}$. 若对于 $\beta$ 内异于 $O$ 的任意一点 $Q$，都有 $\angle POQ \geqslant 45^{\circ}$，则二面角 $\alpha-AB-\beta$ 的大小是______. \begin{answer} $90^{\circ}$ \end{answer}

\begin{solution} 设 $\theta$ 为二面角的大小，取沿 $OB$ 的单位向量为 $\boldsymbol{e}_1$，取平面 $\alpha$ 内垂直于 $AB$ 且指向 $P$ 的单位向量为 $\boldsymbol{e}_2$，再取平面 $\beta$ 内垂直于 $AB$ 的单位向量为 $\boldsymbol{e}_3$. 则 $\boldsymbol{e}_1\perp\boldsymbol{e}_2$，$\boldsymbol{e}_1\perp\boldsymbol{e}_3$，$\boldsymbol{e}_2\cdot\boldsymbol{e}_3=\cos\theta$. 由 $\angle POB=45^{\circ}$，设 $OP=r$，则 平面 $\beta$ 内任意向量都可以写成 $s\boldsymbol{e}_1+t\boldsymbol{e}_3$. 因此，$\overrightarrow{OP}$ 在平面 $\beta$ 上的投影长度为 所以 $\overrightarrow{OP}$ 与平面 $\beta$ 内非零向量的夹角的最小值 $\varphi$ 满足 题设对任意 $Q\in\beta$ 且 $Q\ne O$ 都有 $\angle POQ\geqslant45^{\circ}$，故 $\varphi\geqslant45^{\circ}$，从而 于是 $\cos^2\theta=0$，所以 $\theta=90^{\circ}$. \end{solution}

在如图所示的几何体中，$EA \perp$ 平面 $ABC$，$DB \perp$ 平面 $ABC$，$AC \perp BC$，且 $AC = BC = BD = 2AE$，$M$ 是 $AB$ 的中点.

(1) 求证：$CM \perp EM$； (2) 求 $CM$ 与平面 $CDE$ 所成的角.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 建立空间直角坐标系，取 $C$ 为原点，令 $CA$ 为 $x$ 轴正方向，$CB$ 为 $y$ 轴正方向，垂直于平面 $ABC$ 的方向为 $z$ 轴正方向. 由题设可取 $C=(0,0,0)$，$A=(2,0,0)$，$B=(0,2,0)$，$E=(2,0,1)$，$D=(0,2,2)$. 因为 $M$ 是 $AB$ 的中点，所以 $M=(1,1,0)$. 于是 $\overrightarrow{CM}=(1,1,0)$，$\overrightarrow{EM}=(-1,1,-1)$， 从而 故 $CM\perp EM$. \item 由 $\overrightarrow{CD}=(0,2,2)$，$\overrightarrow{CE}=(2,0,1)$ 可取平面 $CDE$ 的一个法向量为 设 $CM$ 与平面 $CDE$ 所成的角为 $\theta$，则 因此 $\theta=45^{\circ}$. \end{enumerate} \end{solution}