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03
解析几何
★☆☆☆☆
若
x
2
+
y
2
−
2
x
−
4
y
=
0
x^2+y^2-2x-4y=0
x
2
+
y
2
−
2
x
−
4
y
=
0
，求圆心坐标为______.
2021 · 上海 · 第 3 题 · 填空题
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11
解析几何
★★★☆☆
已知抛物线
y
2
=
2
p
x
y^2=2px
y
2
=
2
p
x
（
p
>
0
p>0
p
>
0
），若第一象限的
A
A
A
，
B
B
B
在抛物线上，焦点为
F
F
F
，
∣
A
F
∣
=
2
|AF|=2
∣
A
F
∣
=
2
，
∣
B
F
∣
=
4
|BF|=4
∣
B
F
∣
=
4
，
∣
A
B
∣
=
3
|AB|=3
∣
A
B
∣
=
3
，求直线
A
B
AB
A
B
的斜率为______.
2021 · 上海 · 第 11 题 · 填空题
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14
解析几何
★★☆☆☆
已知参数方程
x
=
3
t
−
4
t
3
x=3t-4t^3
x
=
3
t
−
4
t
3
，
y
=
2
t
1
−
t
2
y=2t\sqrt{1-t^2}
y
=
2
t
1
−
t
2
，
t
∈
[
−
1
,
1
]
t\in[-1,1]
t
∈
[
−
1
,
1
]
，以下哪个图符合该方程（ ）
A.
B.
C.
D.
2021 · 上海 · 第 14 题 · 选择题
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20
解析几何
★★★★★
已知椭圆
Γ
:
x
2
2
+
y
2
=
1
\Gamma:\frac{x^2}{2}+y^2=1
Γ
:
2
x
2
+
y
2
=
1
，
F
1
F_1
F
1
，
F
2
F_2
F
2
是其左，右焦点，直线
l
l
l
过点
P
(
m
,
0
)
P(m,0)
P
(
m
,
0
)
（
m
≤
−
2
m\le -\sqrt2
m
≤
−
2
），交椭圆于
A
A
A
，
B
B
B
两点，且
A
A
A
，
B
B
B
在
x
x
x
轴上方，点
A
A
A
在线段
B
P
BP
B
P
上.
(1) 若
B
B
B
是上顶点，
∣
B
F
1
→
∣
=
∣
P
F
1
→
∣
\left| \overrightarrow{BF_1} \right|=\left| \overrightarrow{PF_1} \right|
B
F
1
=
P
F
1
，求
m
m
m
的值； (2) 若
F
1
A
→
⋅
F
2
A
→
=
1
3
\overrightarrow{F_1A}\cdot \overrightarrow{F_2A}=\frac13
F
1
A
⋅
F
2
A
=
3
1
，且原点
O
O
O
到直线
l
l
l
的距离为
4
15
15
\frac{4\sqrt{15}}{15}
15
4
15
，求直线
l
l
l
的方程； (3) 证明：对于任意
m
<
−
2
m<-\sqrt2
m
<
−
2
，使得
F
1
A
→
∥
F
2
B
→
\overrightarrow{F_1A}\parallel \overrightarrow{F_2B}
F
1
A
∥
F
2
B
的直线有且仅有一条.
2021 · 上海 · 第 20 题 · 解答题
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