在平面直角坐标系中，不等式组 表示的平面区域的面积是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 不等式组等价于 $y\geqslant2-x$、$y\leqslant x+2$ 和 $x\leqslant2$. 两条斜边界线的交点为 $(0,2)$，直线 $x=2$ 与它们的交点分别为 $(2,0)$ 和 $(2,4)$. 因而所表示的区域是以这三个点为顶点的三角形，其底边长为 $4$，高为 $2$，面积为 $\frac12\times4\times2=4$. 因此选 B. \end{solution}

“$a > b > 0$”是“$ab < \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$”的（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 由 $a>b>0$ 得 $(a-b)^2>0$，即 $a^2+b^2>2ab$，从而 所以该条件是充分条件. 但它不是必要条件，例如取 $a=1$，$b=2$，则 $ab=2<\frac{1+4}{2}$，而 $a>b>0$ 不成立. 因此选 A. \end{solution}

对 $a$，$b \in \mathbf{R}$，记 函数 $f(x) = \max \{|x + 1|, |x - 2|\}$ （$x \in \mathbf{R}$）的最小值是______.

\begin{answer} $\frac{3}{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 对任意 $x$，三角不等式给出 又对任意非负数 $u$，$v$，都有 $\max\{u,v\}\geqslant\frac{u+v}{2}$. 取 $u=|x+1|$，$v=|x-2|$，便有 $f(x)\geqslant\frac{|x+1|+|x-2|}{2}\geqslant\frac32$. 当 $x=\frac12$ 时，$|x+1|=|x-2|=\frac32$，上述两个不等式同时取等号. 所以函数的最小值为 $\frac32$. \end{solution}

设 $f(x)=3ax^{2}+2bx+c$. 若 $a+b+c=0$，$f(0)>0$，$f(1)>0$，求证：

(1) $a > 0$ 且 $-2 < \frac{b}{a} < -1$. (2) 方程 $f(x)=0$ 在 $(0,1)$ 内有两个实根.