如图，$O$ 是半径为 $1$ 的球心，点 $A$，$B$，$C$ 在球面上，$OA$，$OB$，$OC$ 两两垂直，$E$，$F$ 分别是大圆弧 $\widehat{AB}$ 与 $\widehat{AC}$ 的中点，则点 $E$，$F$ 在该球面上的球面距离是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 取单位向量 $\boldsymbol{e}_A$，$\boldsymbol{e}_B$，$\boldsymbol{e}_C$ 分别沿 $OA$，$OB$，$OC$ 方向，则它们两两垂直. 大圆弧 $AB$ 的中点对应的单位向量为 因为 $OA\perp OC$，大圆弧 $AC$ 的中点到 $A$，$C$ 等距，故其单位向量为 因而 球面半径为 $1$，所以球面距离等于对应圆心角，设其为 $\theta$，则 $\cos\theta=\frac12$，从而 $\theta=\frac\pi3$. 因此选 B. \end{solution}

设向量 $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$，满足 $\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c} = 0$，$(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{c}$，$\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$，若 $|\boldsymbol{a}| = 1$，则 $|\boldsymbol{a}|^2 + |\boldsymbol{b}|^2 + |\boldsymbol{c}|^2$ 的值是______.

\begin{answer} $4$ \end{answer}

\begin{solution} 由 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=0$，得 $\boldsymbol{c}=-(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$. 由 $(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{c}$，有 所以 $|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|=1$. 又因为 $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$， 故 $|\boldsymbol{a}|^2+|\boldsymbol{b}|^2+|\boldsymbol{c}|^2=1+1+2=4$. \end{solution}

如图，函数 $y = 2\sin (\pi x + \varphi)$，$x \in \mathbf{R}$（其中 $0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi}{2}$）的图象与 $y$ 轴交于点 $(0,1)$.

(1) 求 $\varphi$ 的值； (2) 设 $P$ 是图象上的最高点，$M$，$N$ 是图象与 $x$ 轴的交点，求 $\overrightarrow{PM}$ 与 $\overrightarrow{PN}$ 的夹角.